专题42 概率与统计的综合应用-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题42 概率与统计的综合应用 【题型归纳目录】 题型一：决策问题 题型二：道路通行问题 题型三：保险问题 题型四：概率最值问题 题型五：放回与不放回问题 题型六：体育比赛问题 题型七：几何问题 题型八：彩票问题 题型九：纳税问题 题型十：疾病问题 题型十一：建议问题 题型十二：概率与数列递推问题 题型十三：硬币问题 题型十四：自主选科问题 题型十五：高尔顿板问题 题型十六：自主招生问题 题型十七：顺序排位问题 题型十八：博彩问题 【典例例题】 题型一：决策问题 例1．（2022·全国·高三专题练习）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． (1)证明：； (2)某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 【解析】（1）由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 所以的数学期望， 记， ， 作差可得，， 则； （2）由（1）可知，则试验成本的期望小于元， 试验成功则获利元，且，则该公司应该投资该产品 例2．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中． (1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围． 【解析】（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则； 该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则． （2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为， 依题意，，则， 该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3． ， ，， 随机变量的分布列： 0 1 2 3 ， 因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得， 所以的范围为：. 例3．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列； (2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？ 【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得， 一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2， X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， 从而； ； ； ； ； ； ； 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （2）购买零件所需费用含两部分： 一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用， 当时，费用的期望为： 元， 当时，费用的期望为： 元， 因为，所以选更适合. 变式1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立． (1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点； (2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标． ①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求； ②以①中检验成本与赔偿费用和的