河南省洛阳市2021-2022学年高一下学期期中质量检测数学试题

第 1 页 共 5 页 洛阳市 2021—2022 学年第二学期期中考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设 3(z＋ z̄)－2(z－ z̄)＝6＋8i，则 z＝ A．1－2i B．1＋2i C．－3 2 ＋ 4 3 i D．－3 2 － 4 3 i 2．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝2，则 a·(a－4b)＝ A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知正方体的棱长为 3，则该正方体外接球的体积为 A．9π B．27 4 π C．9 2 π D．27 8 π 4．若△ABC的面积 S＝2BC·sin Bsin C，则△ABC外接圆的半径 R为 A．1 B．2 C． 2 D．2 2 5．已知点 A(0，2)，B(1，－1)，C(－3，1)，若λAB→＋BC→与BC→垂直，则λ＝ A．－1 B．1 C．－2 D．2 6．设 l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中不正确．．．的有 ①若 l∥m，l∥n，则 m∥n； ②若 m∥α，n∥α，则 m∥n； ③若α∥β，mα，α∩β＝n，则 m∥n； ④若 m∥n，m∥α，则 n∥α． A．②③ B．②④ C．①③ D．② 7．下列说法正确的有 A．两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．利用斜二测画法得平行四边形的直观图可能是梯形 D．存在四个面都是直角三角形的三棱锥 8．“△ABC为钝角三角形”是“sin2C＞sin2A＋sin2B”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第 2 页 共 5 页 9．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，若经过 D1B的平面分别交 AA1和 CC1于点 E， F，则四边形 D1EBF的形状是 A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形 10．2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在 舞台中央，十分壮观。理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花 曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904年研究的一种分形曲线。如图是“雪 花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中 间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程。已知图①中正三角 形的边长为 3，则图③中OM→ ·ON→的值为 A．3 3 B．6 3 C．6 D．6 2 11．如图，已知四面体 ABCD的侧面 ABC为等腰三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过 点 D作截面α交侧棱 AB，AC于 M，N两点，且四棱锥 D－MNCB的体积为四面体 ABCD体 积的 3 4 ，则线段 MN的长度的最小值为 A．1 B． 2 C． 3 D．2 第 3 页 共 5 页 12．设向量 a 与 b 的夹角为θ，定义 a 与 b 的“向量积”：a×b．可知 a×b 是一个向量，它的 模为|a×b|＝|a|·|b|sin θ．已知在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，A＝π 3 ， |BA→×BC→ |＝ 3 6 (8b2－9a2)，则 cos B＝ A． 7 14 B．－ 7 14 C．－ 7 7 D．2 7 7 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13．已知复数 z＝(1＋i)3＋i，则复数 z的模为______ 14．已知 a＝(1，2)，b＝(1 x ，1)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 x的取值范围为______ 15，某圆锥的侧面展开图是一个半径为 3，圆心角为2π 3 的扇形，则该圆锥内接正方体的棱长 为______ 16．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 M，N，E分别为棱 AA1，AB，AD 的中点，以 A为圆心，1为半径，分别在面 ABB1A1和面 ABCD内作弧 MN和 NE，并将两 弧各六等分，分点依次为 M，P1，P2，P3，P4，P5，N以及 N，Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，E．一 只蚂蚁欲从点 P1出发，沿正方体的表面爬行至 Q5，则其爬行的最短距离为______ 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤。 17．(本小题满分 10分) 已知复数 z1是方程 x2－2x＋2＝0的根，且 z1的实部大于虚部，z2＝a＋i． (1)若 z1z2是纯虚数，求实数 a的值；