2.4.2 简单幂函数的图象与性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．2　简单幂函数的图象与性质 1．幂函数的概念 一般地，形如 的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 2．五个幂函数的图象与性质 y＝xα(α为常数) 1．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量x，指数α为常数； (3)项数只有一项． 符合以上三个特征的函数才是幂函数． 2．一般幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． (4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限． (5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点． 1．下列所给的函数中是幂函数的为 (　　) A．y＝2x5　　　　　　 B．y＝x3＋1 C．y＝x－3 D．y＝3x 答案：C [解析]　(1)因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2. (2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(－4)＝(－4)2＝16. [答案]　(1)A　(2)16 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是不是y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是一个变量的幂的形式．反过来，若一个函数是幂函数，则该函数也必符合y＝xα(α为常数)的形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．　　 [对点训练] 1．在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为 (　　) A．0　　 B．1　　　C．2　　 D．3 解析：根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B. 答案：B　 2．若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________. 解析：因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1， 即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案：5或－1 [方法技巧]　比较幂值大小的两种基本方法 直接法 当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．　　 [对点训练] 已知幂函数f(x)＝xm2－m－3(m∈N＋，且m≥2)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数． (1)求f(x)； (2)比较f(－2 021)与f(－2)的大小． 当m＝1时，f(x)＝x－3，为奇函数； 当m＝2时，f(x)＝x－1，为奇函数． 故f(x)＝x－3或f(x)＝x－1. (2)由题知f(x)为奇函数， 且在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(－2 021)＝－f(2 021)， f(－2)＝－f(2)，且f(2 021)＜f(2)， ∴f(－2 021)＞f(－2)． 一、在典题训练中内化学科素养 高考对本节考查的重点是幂函数的图象与性质，常以选择、填空题的形式出现，考查的核心素养是直观想象、数学运算与逻辑推理． 内化素养 内化素养 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2,8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则b的取值范围是 (　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1,2) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 注重实践应用 3．有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密)．现在已知加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 4．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式． (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？ ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二十)” (单击进入电