2.4.1 函数的奇偶性（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．1　函数的奇偶性 1．偶函数、奇函数的定义   奇函数 偶函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有 ，且 ，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有 ，且 ，那么称函数f(x)为偶函数 －x∈A f(－x)＝－f(x) －x∈A f(－x)＝f(x)   奇函数 偶函数 图象特点 关于 对称 关于 对称 奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有_______ 定义域特征 关于 对称 原点 y轴 奇偶性 原点 2．偶函数、奇函数的图象特征 (1)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数． (2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． y轴 y轴 原点 原点 (2)函数奇偶性的三个关注点 ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 1．判断正误 (1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． (　　) (2)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　　) (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数． (　　) (4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　) (5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数． (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　 3．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 (　　) 答案：B 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [提醒]　分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．　　 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<2，且x≠0}． [拓展] 若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调增区间为(－1,1)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或x>2}． 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，x∈[－3,3]． (1)证明函数f(x)是偶函数，并在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数的单调区间与值域． [解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴定义域关于原点对称，则(a－5)＋(2a－1)＝3a－6＝0，解得a＝2.又f(x)＝f(－x)，即2x2＋bx＋8＋2b＝2(－x)2＋b(－x)＋8＋2b，∴2bx＝0对任意的x∈[－3,3]恒成立，可得b＝0，∴a＋b＝2. (2)当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x2－bx，f(x)＝－f(－x)＝x2＋bx，即ax2－2x＝x2＋bx，解得a＝1，b＝－2，可验证当x＜0时，对a＝1，b＝－2也有f(x)＝－f(－x)，故f(a＋b)＝f(－1)＝1. [答案]　(1)C　(2)C 1．利用函数奇偶性求值的方法 (1)未知的值不在已知的范围内，可利用函数的奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间． (2)有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值． 2．利用函数奇偶性求参数值的方法 (1)若具有奇偶性的函数的定义域含有参数，需根据定义域关于坐