第2章 02 单元整合练2 函数性质的综合应用(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数性质综合应用，涵盖奇偶性、单调性、对称性及周期性等核心知识点。通过典型例题导入，衔接函数定义与基本性质，以问题链为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以具体函数实例为载体，培养学生用数学眼光观察函数特征、用数学思维推理性质关系。如通过分段函数解析单调性，利用对称性转化不等式，提升逻辑推理与数学表达能力。助力学生深化理解，为教师提供优质教学资源。

第二章 函数 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 单元整合练2　函数性质的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025广东中山华侨中学月考]已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( ) A. f(x)是偶函数,单调递减区间是(1,+∞) B. f(x)是偶函数,单调递增区间是(-∞,-1) C. f(x)是奇函数,单调递减区间是(-∞,-1) D. f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)     D     解析　    f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数. 当x≥0时,f(x)=x2-2x, f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南长沙长郡中学月考]已知函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,y=f(x+2)的图象关于y轴对称, 若f(t)-f(3-2t)>0成立,则实数t的取值范围是 ( ) A.(-∞,1)∪(1,+∞)　    B.(1,3) C.(-1,1)　     D.(-∞,-1)∪(1,+∞)     C     解析　　因为y=f(x+2)的图象关于y轴对称,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称, 又f(x)在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减, 由f(t)-f(3-2t)>0得f(t)>f(3-2t), 由函数的单调性以及图象的对称性得|t-2|>|3-2t-2|(点(x,f(x))离对称轴:直线x=2越近,f(x)的值越小), 即|t-2|>|1-2t|,化简可得t2<1,解得-1<t<1,故实数t的取值范围是(-1,1). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026广西名校模拟]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,则函数y =f(|x+1|)+1的图象可能是 (__________)  　       　          AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　令g(x)=f(|x+1|)+1,x∈R, 则g(-1-x)=f(|-1-x+1|)+1=f(|x|)+1, g(-1+x)=f(|-1+x+1|)+1=f(|x|)+1,则g(-1-x)=g(-1+x), 故g(x)=f(|x+1|)+1的图象关于直线x=-1对称,排除B; 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递减, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 故当x>-1时,x+1>0,此时g(x)=f(x+1)+1在(-1,+∞)上单调递减, 排除D. 故A,C满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025河南郑州中学启航班月考]奇函数f(x)的定义域为[-3,3],当x∈[0,3]时, f(x)的图象如图中折线 OBA所示,则不等式f(x)≤ 的解集是( )   A.[-3,-2]∪[-1,1]∪[2,3] B.[-2,-1]∪[0,1]∪[2,3] C.[-2,-1]∪(0,1]∪[2,3] D.[-3,-2]∪[-1,0)∪(0,1]∪[2,3]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当0≤x≤1时,易得f(x)=2x,由2x= 得x=1(负值舍去); 当1<x≤3时,设f(x)=kx+b, 将(1,2),(3,0)分别代入,得  解得 所以f(x)=-x+3, 由-x+3= ,解得x=1(舍去)或x=2. 又f(x)和y= 都是奇函数,图象关于原点对称, 所以画出f(x)和y= 的图象如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   由图可知,不等式f(x)≤ 的解集是[-2,-1]∪(0,1]∪[2,3]. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌外国语学校月考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=x2,且对任意的x1,x2∈[0,+∞), x1≠x2,均有 > ,若f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2>0,则实数m的取值范围为 ( ) A.(1,+∞)　    B.(-∞,1) C.(2,+∞)　    D.(-∞,2)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由题意知f(x)的定义域为R, 不妨设x1>x2≥0,由 > 得f(x1)-f(x2)> , 所以f(x1)- >f(x2)- , 令g(x)=f(x)- ,得g(x1)>g(x2),故g(x)在[0,+∞)上单调递增, 易知g(x)的定义域为R, 因为g(x)+g(-x)=f(x)- +f(-x)- =f(x)+f(-x)-x2=0, 所以g(-x)=-g(x),故g(x)为奇函数, 因为g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)在(-∞,0]上单调递增,所以g(x)在R上为增函数, 由f(4m-2)-f(2m)-6m2+8m-2>0, 第1讲　描述运动的基本概念 得f(4m-2)- >f(2m)- ,即g(4m-2)>g(2m),则4m-2>2m,解得m>1, 因此实数m的取值范围是(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西赣州赣县开学考试]已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(1+x)=-f(1-x),f(x+2)为偶函数,当x∈ [1,2]时,f(x)=ax2+bx,若f(0)+f(3)=5,则f = ( ) A. 　    B.-  C. 　    D.-      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　由f(1+x)=-f(1-x),得f(x)的图象关于点(1,0)对称(若f(a+x)=-f(a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称),f (x)=-f(2-x)①, 因为f(x+2)为偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2)②, 则f(x)的图象关于直线x=2对称 若f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x= 对称 . 由①②得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4, 所以f =f =f . 由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0,得f(1)=0,即a+b=0③. 已知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1)=0. 又f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(0)=-f(2),则f(0)+f(3)=-f(2)=5,即f(2)=-5,所以4a+2b=-5④. 联立③④,解得a=- ,b= ,故当x∈[1,2]时,f(x)=- x2+ x. 第1讲　描述运动的基本概念 由f(x)的图象关于点(1,0)对称, 可得f =f =-f =- - × + ×  = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025湖北襄阳四中期中]设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者, 下列说法正确的有( ) A.函数f(x)为偶函数 B.当x∈[1,+∞)时,f(x-2)≤f(x)恒成立 C.当x∈R时, f(f(x))≤f(x)恒成立 D.当x∈[-4,4]时, f(x-2)≥f(x)恒成立     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　画出f(x)的图象,如图所示:   对于A选项, f(x)= 其定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)恒成立,故选项A正确; 对于B选项,当x≥1时, f(x)=|x-2|, f(x-2)的图象由f(x)的图象向右平移两个单位长度得到,所以f(x-2)≤f(x) 恒成立,故选项B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C选项,由图知,当x∈R时, f(x)≥0,可令t=f(x),由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象知,当t≥0时,y=t的图象在y=f (t)的图象的上方,且两图象在点(0,0),(1,1)处重合,所以当t≥0时,t≥f(t),即f(f(x))≤f(x)成立,故选项C正确; 对于D选项,结合B选项知D选项错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河南郑州中学开学考试]已知函数f(x)= 若c=0,则f(x)的单调递减区间是____ _____________________________;若f(x)的值域是 ,则实数c的取值范围是_________.  ,(0,3]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当c=0时, f(x)=  当-2≤x≤0时, f(x)=x2+x= - ,其单调递减区间为 , 当0<x≤3时, f(x)= 单调递减, 故当c=0时, f(x)的单调递减区间是 ,(0,3]. 因为函数y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,函数f(x)的值域是 ,所以0<c<3. 当c<x≤3时,函数f(x)单调递减,所以f(x)∈ ⊆ ,即有 ≤2,所以 ≤c<3, 故函数f(x)在[-2,c]上的值域为 . 第1讲　描述运动的基本概念 易知f(x)=x2+x= - 在x=- 处取得最小值- , 令x2+x=2,解得x=1或x=-2,所以函数f(x)=x2+x在x=-2处取得最大值2, 当x=c时, f(c)=c2+c≤2,解得-2≤c≤1. 综上,实数c的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026黑龙江新时代高中教育联合体期中][x]表示不超过x的最大整数,例如:[2]=2,[3.7]=3,[-2.1]= -3.现有函数f(x)=|2x-[2x+t]|,如果该函数既有最大值也有最小值,那么实数t的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知[u]≤u<[u]+1,即0≤u-[u]<1. 2x-[2x+t]=(2x+t)-[2x+t]-t,令z=(2x+t)-[2x+t],则0≤z<1,2x-[2x+t]=z-t, 故f(x)=|2x-[2x+t]|可转化为g(z)=|z-t|,0≤z<1. 当t≤0时,y=g(z)的图象如图1所示,g(z)在z∈[0,1)上有最小值,无最大值,不符合题意;   第1讲　描述运动的基本概念 当0<t< 时,y=g(z)的图象如图2所示,g(z)在z∈[0,1)上有最小值,无最大值,不符合题意; 当 ≤t<1时,y=g(z)的图象如图3所示,g(z)在z∈[0,1)上有最大值和最小值,符合题意;   当t≥1时,y=g(z)的图象如图4所示,g(z)在z∈[0,1)上有最大值,无最小值,不符合题意. 综上,实数t的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025河南焦作期末]已知函数f(x)=(x-1)3+ax-a. (1)当a=0时,利用函数单调性的定义证明:f(x)在R上单调递增; (2)若a>0,函数g(x)=|f(x)|. ①证明:函数g(x)的图象关于直线x=1对称; ②求g(x)在[-2,2]上的值域(用含a的式子表示). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=0时, f(x)=(x-1)3, 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)= - =(x2-x1)[ +(x2-1)(x1-1)+ ], 又x2-x1>0, +(x2-1)(x1-1)+ = (x2-1)+ (x1-1) 2+ (x1-1)2>0, 故f(x2)-f(x1)>0, 故f(x)在R上单调递增. (2)①证明:由题意得g(x)=|f(x)|=|(x-1)3+a(x-1)|, g(2-x)=|(2-x-1)3+a(2-x-1)|=|(1-x)3+a(1-x)|=|(x-1)3+a(x-1)|, 故g(x)=g(2-x), 故函数g(x)的图象关于直线x=1对称. 第1讲　描述运动的基本概念 ②因为a>0,所以当x≥1时,g(x)=|(x-1)3+a(x-1)|=(x-1)3+a(x-1), 易知函数y=a(x-1)在[1,+∞)上单调递增, 由(1)知函数y=(x-1)3在R上单调递增, 故函数g(x)在[1,+∞)上单调递增, 又函数g(x)的图象关于直线x=1对称, 故函数g(x)在(-∞,1]上单调递减, 易知g(1)=0,g(-2)=3a+27>g(2)=a+1, 故g(x)在[-2,2]上的值域为[0,3a+27]. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖北百强高中名校月考]设函数f(x)满足:①对任意实数m,n都有f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n);②对任 意m∈R,都有f(1+m)=f(1-m)恒成立;③f(x)不恒为0,且当0<x<1时,-1<f(x)<1. (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并给出你的证明; (3)定义“若存在非零常数T,使得对定义域中的任意一个x,均有g(x+T)=g(x),则称g(x)是以T为周期的周 期函数”.试证明:函数f(x)为周期函数,并求出f +f +f +…+f 的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由于f(x)不恒为0,所以存在x0,使f(x0)≠0, 对于f(m+n)+f(m-n)=2f(m)·f(n)(*),令m=x0,n=0,则f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(0),所以f(0)=1; 令m=1,n=1,则f(2)+f(0)=2[f(1)]2, 在f(1+m)=f(1-m)中,令m=1,得f(2)=f(0)=1,则[f(1)]2=1, 对于(*)式,令m=n= ,则f(1)+f(0)=2f f , 因为当0<x<1时,-1<f(x)<1,所以-1<f <1,即2f f <2, 所以f(1)<1,故f(1)=-1. (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称. 对于(*)式,令m=0,n=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x), 因为f(0)=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)在f(1+m)=f(1-m)中,令1+m=-x,得m=-1-x,则f(-x)=f(2+x), 又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(2+x),即f(x)是以2为周期的周期函数. 对于(*)式,令m=n= ,得f +f(0)=2 ,即f +1=2 , 令m= ,n= ,得f(1)+f =2f f ,即-1+f =2f f , 联立 结合f <1,可得f = ,f =- . 由f(1+m)=f(1-m)得f =f ,f =f , 所以f +f +f +f +f +f =0, 第1讲　描述运动的基本概念 又f(x)是以2为周期的周期函数, 所以f +f +f +…+f =337×0+f +f +f =-1. 第1讲　描述运动的基本概念 $