2.1 生活中的变量关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§1　生活中的变量关系 1．依赖关系与函数关系 (1)依赖关系：一个变量的变化引起与之相关的另 变量的变化，这时称这两个变量之间具有 ． (2)函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有 和它对应，那么y就是x的函数，其中x是 量，y是 ．这时变量x与y就建立起了函数关系． 2．分段函数 若一个函数，自变量x在不同范围内，有 ，则这样的函数为分段函数． 一个 依赖关系 唯一确定的值 自变 因变量 不同的函数关系 (1)依赖关系不一定是函数关系，函数关系是特殊的依赖关系．判断两个有依赖关系的变量之间是不是函数关系的方法：首先，确定因变量和自变量；其次，判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应，若满足则是函数关系，否则不是函数关系． (2)研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为二者交换位置后可能会成为另一个函数关系，也可能不存在函数关系． 1．俗语“名师出高徒”说明 (　　) A．名师与高徒之间具有依赖关系 B．名师与高徒之间具有函数关系 C．名师是高徒的函数 D．高徒是名师的函数 答案：A 2.将如图所示的葫芦放入水中，直到全部没入水中． (1)葫芦所受的浮力与葫芦没入水中的深度是否具备函数关系？ (2)水面与葫芦相交处的圆的半径与葫芦没入水中的深度是否具备函数关系？ 解：(1)具备函数关系．只是在葫芦完全没入水中以前，葫芦所受的浮力随葫芦没入水中的深度的变大而变大．而到葫芦完全没入水中以后，葫芦所受的浮力就是一个常量了． (2)若把水面与葫芦相交处的圆的半径作为因变量，葫芦没入水中的深度作为自变量，则它们之间具备函数关系．而将以上两者互换，则不具备函数关系，因为在相同的半径下，葫芦处于水中的深度可能不同． [解]　(1)人的身高与体重之间具有依赖关系，但不具有函数关系．人的身高越高，其体重不一定越重． (2)炮弹的飞行高度与时间具有依赖关系，也是函数关系．因为对于任一给定的时间的值，都有炮弹的唯一的飞行高度与之对应． (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系． 判断两个具有依赖关系的变量是否有函数关系的步骤 (1)确定自变量和因变量． (2)判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系；否则，不是函数关系．　　 [对点训练] 下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是 (　　) A．多边形的边数和它的内角和 B．正方形的边长和面积 C．球的体积和半径 D．人的体重和身高 解析：人的体重和身高的关系不是确定的．故选D. 答案：D　 (1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量． (2)当声音在空气中传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？ (3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大(或减少)多少？ (4)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据(3)中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式． [解]　(1)自变量是温度，因变量是声速． (2)由表中数据可得出，当声音在空气中传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是20 ℃. (3)利用表格中数据得出，空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s. (4)由表中数据可得出：y＝0.6x＋330. 利用表格分析两个变量之间的关系时，首先要明确表格中的各个项目，确定好给出的变量，其次要弄清表格中给出的两个变量的各组数据间的对应关系，在此基础上判断它们是否具有依赖关系，是否具有函数关系．必要时，可将表格中的各组数据转化为图象，结合图象分析变量的特点及关系．　　 [对点训练] 在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值. (1)上表反映了哪两个变量之间的关系，________是自变量，________是因变量． (2)当所挂物体重量为3 kg时，弹簧长________；不挂重物时弹簧长________．　　　 (3)弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：________________. 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 解析：(1)上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量． (2)当所挂物体重量为3 kg时，弹簧长24 cm；当不挂重物时，弹簧长18 cm. (3)弹簧长度y与所挂