1.4.3 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．3　一元二次不等式的应用 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. 答案：(1,2) 1．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝a2－4<0，所以－2<a<2. 答案：(－2,2) 2．对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝22－4m<0，所以m>1. 答案：(1，＋∞) 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　 [解]　设税率调低后，国家此项税收的总收入为y元． 由已知条件，得y＝2 400m(1＋2x%)[(8－x)%](0＜x≤8)． 根据题意，得y≥2 400m×8%×78%， 即2 400m(1＋2x%)[(8－x)%]≥2 400m×8%×78%， 整理，得x2＋42x－88≤0， 解得－44≤x≤2， 根据x的实际意义知0＜x≤2， 即当0＜x≤2时，税率调低后，国家此项税收的总收入不低于原计划的78%. 解决一元二次不等式应用问题的关键和步骤 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再根据题目中的不等关系列不等式． 解决一元二次不等式的应用问题，一般可以按照以下四步进行： (1)阅读题干，认真审题，把握问题中的关键词，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回归实际问题．　　 [对点训练] 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．　　 [对点训练] 1．若不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为 (　　) A．{k|－8<k<0}　　　　 B．{k|0<k<8} C．{k|k<－8或k>0} D．{k|k<0或k>8} 解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0，解得－8<k<0. 答案：A　 2．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈{x|0≤x≤3}恒成立，则实数m的取值范围是 (　　) A．[－3，＋∞) B．[－3,0] C．(－∞，－4] D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 解析：因为不等式x2－4x≥m对任意x∈{x|0≤x≤3}恒成立，令y＝x2－4x,0≤x≤3，则m≤ymin，因为y＝x2－4x在{x|0≤x≤3}上的最小值为－4，故m≤－4. 答案：C　 3.如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角， AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地 形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积． 内化素养 数学运算 解与一元二次不等式相关的分式不等式，要做到等价转化，避免增解或漏解 数学建模 解答实际应用问题的难点是数学建模，注意恰当地转化已知条件与处理数据 解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2， ∴m的取值范围为[－2，＋∞)． 答案：[－2，＋∞) 4.某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3 m，AD＝2 m. 要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？ ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十三)” (单击进入电子文档) 35 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义． 2.能够构建二次函数模型，解决实际问题．