1.4.1 一元二次函数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．1　一元二次函数 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及性质 续表 1．函数y＝2x(3－x)的图象可能是 (　　) 解析：由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知图象与x轴的交点为(0,0)，(3,0)，排除A、C.又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以图象开口向下，故排除D，因此选B. 答案：B　 2．函数y＝x2－1的值域是________． 解析：y＝x2－1≥－1，故值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 3．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左平移________个单位，再向上平移________个单位而得到． 4．若函数y＝x2－2ax在(－∞，5]上随x的增大而减小，在[5，＋∞)上随x的增大而增大，则实数a＝________. 解析：由题知一元二次函数的对称轴为x＝5，∴a＝5. 答案：5 [解]　列表： 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下． x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 上述平移规律为：“h值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．　　 [对点训练] 1．将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5(x－3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是 (　　) A．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：将一元二次函数y＝5x2的图象向右平移3个单位长度，得到一元二次函数y＝5(x－3)2的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝5(x－3)2－1的图象． 答案：D　 有关一元二次函数图象识别问题的解题思路 (1)对于一元二次函数的图象判断问题可以采用排除法，即抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等作出判断． (2)对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题(一般为选择题)，当函数中含有一个变量时，常通过对变量的讨论对函数图象作出判断；当函数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误．　　 [对点训练] 1．如图是一元二次函数：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2的图象，则a，b，c，d的大小关系为 (　　) 　　　　 A．a＜b＜0＜c＜d B．d＜c＜0＜a＜b C．0＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜c＜d＜0 解析：当二次项系数大于0时，一元二次函数的图象开口向上，当二次项系数小于0时，一元二次函数的图象开口向下，所以由图象可知a和b都大于0，c和d都小于0，再根据二次项系数的绝对值越大，开口越小可知d＜c＜0＜a＜b. 答案：B　 2．一元一次函数y＝ax＋b与一元二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　　) [解]　(1)∵y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x－1)2＋5， ∴该一元二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1,5)． (2)由(1)可知，将函数y＝－2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数y＝－2x2＋4x＋3的图象． (3)由(1)知，函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，则可得在区间(－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[1，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小．故函数在x＝1处取得最大值5，即ymax＝5，无最小值． “配方法”是研究一元二次函数的主要方法，