1.3.2 第二课时 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　基本不等式的应用 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个：一是消元的思想，转化为只有一个变量的代数式，再通过变形转化为基本不等式的形式求解；二是直接利用条件式或进行恰当地转化，如“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件，利用基本不等式求得最值．　　 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．　　 [对点训练] 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接．已知这块绿化景观地带的周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在满足条件的情况下可以把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个具体的函数，这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式，便于问题的解决． 常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即y≥m恒成立⇔ymin≥m；y≤m恒成立⇔ymax≤m.但要注意函数中自变量的取值范围．如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．　　 内化素养 数学运算 对不等式进行变形时应注意检验利用基本不等式的前提，且注意检验多次使用等号时成立的条件 逻辑推理 使用基本不等式求最值要对相关不等式利用拼、凑等方法进行变形，使之和或积为定值 3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 内化素养 数学建模 在实际问题中建立函数模型，再利用基本不等式解决实际问题 数学运算 利用基本不等式求最值，不要忽略参数的实际意义 注重实践应用 3．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是 (　　) A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十)” (单击进入电子文档) 35 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 利用基本不等式求最值 —————————————————————————————————— [典例]　(1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1)的最大值为 (　　) A．2eq \r(2)　　　　　 B．4 C．4eq \r(2) D．16 (2)若正数a，b满足a>1，b>1，且a＋b＝3，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(4,b－1)的最小值为(　　) A．4 B．6 C．9 D．16 [解析]　(1)因为(eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1))2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2eq \r(a＋1)·eq \r(b＋1)≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋1)的最大值为2eq \r(2). (2)由a＋b＝3，可得a－1＋b－1＝1，a－1>0，b－1>0，所以eq \f(1,a－1)＋eq \f(4,b－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－1)＋\f(4,b－1)))(a－1＋b－1)＝5＋eq \f(b－1,a－1)＋eq \f(4a－1,b－1)≥5＋2eq \r(\f(b－1,a－1)·\f(4a－1,b－1))＝9，当且仅当b－1＝2(a－1)，即b＝eq \f(5,3)，a＝eq \f(4,3)时等号成立． [答案]　(1)A　(2)C eq \a\vs4\al([方法技巧]) [对点训练] 1．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)的最小值是________．　　 解析：eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))(a＋3b)＝4＋9＋eq \f(12b,a)＋eq \f(3a,b)