1.3.1 不等式的性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

3．1　不等式的性质 1．比较实数a，b大小的依据 依据 a＞b⇔a－b 0； a＝b⇔a－b 0； a＜b⇔a－b 0 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的 与 的大小关系 ＞ ＝ ＜ 差 0 2.不等式的性质 (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”． (2)利用不等式表示不等关系时，应注意所比较的两个(或几个)量必须具有相同性质，才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，一定要注意单位的统一． (3)在应用性质1时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去．如由a≥b，b＞c不能得到a≥c，只能得到a＞c. (4)在应用性质3时，要特别注意c的符号．当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a＞b⇒ac2＞bc2”是错误的． (5)注意不等式的单向性和双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性．性质2是可逆的，其余的性质和推论在一般情况下是不可逆的． (6)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件．如性质4要求两个不等式为同向不等式；性质5(1)要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正；性质5的推论要求不等式两边同为正数且n∈N＋，n≥2. 答案：B 3．若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是________________________________． 解析：因为x－2－(2x－2)＝－x>0，所以x－2>2x－2. 答案：x－2>2x－2 4．如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志： 其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m. 你能用数学式子表示上述关系吗？ 解：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3. 1．将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量，注意变量的取值范围． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤ [对点训练] 下列说法正确的是 (　　) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少是a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≥a” 解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A不正确；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系式可表示为y≤a，故D不正确．故选C. 答案：C　 比较两个实数(代数式)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． [提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 不等式的性质应用 通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法．　　 内化素养 数学运算 运算时应注意严格按照不等式的相关性质进行 逻辑推理 应用不等式性质中的倒数法则，应注意各数的符号 2．(2017·北京高考)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (ⅰ)男学生人数多于女学生人数； (ⅱ)女学生人数多于教师人数； (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________． 解析：令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z， 则z＜y＜x＜2z. ①若教师人数为4，则4＜y＜x＜8， 当x＝7时，y取得最大值6. ②当z＝1时，1＝z＜y＜x＜2，不满足条件； 当z＝2时，2＝z＜y＜x＜4，不满足条件； 当z＝3时，3＝z＜y＜x＜6，y＝4，x＝5，满足条件． 所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12. 答案：6　12 内化素养 数学建模 建模思想的应用，不等关系的等价变形和不等式