1.2.1 第一课时 必要条件与性质定理及充分条件与判定定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

　2.1　必要条件与充分条件 第一课时　必要条件与性质定理及充分条件与判定定理 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的 ．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是 的． 必要条件 必要 (1)一般地，数学中的每一条性质定理都给出了使相应数学结论成立的一个必要条件． (2)判断q是否为p的必要条件，只需判断命题“若p，则q”是否为真，当且仅当“若p，则q”是真命题时，q是p的必要条件． 判断q是否为p的必要条件，简要说明理由.   p q (1) x是整数 x是有理数 (2) a>3 a>4 (3) x2－1＝0 x＝1 提示：(1)因为“若x是整数，则x是有理数”是真命题，所以“x是有理数”是“x是整数”的必要条件． (2)因为“若a>3，则a>4”是假命题，所以“a>4”不是“a>3”的必要条件． (3)由x2－1＝0，得x＝1或x＝－1，所以“若x2－1＝0，则x＝1”是假命题，故“x＝1”不是“x2－1＝0”的必要条件． 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的 ．也就是说，一旦p成立，足以保证q一定成立，即p对于q的成立是 ． 对于真命题“若p，则q”，即 时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． 充分条件 充分的 p⇒q (1)判断p是否为q的充分条件，只需判断命题“若p，则q”是否为真，当且仅当“若p，则q”是真命题时，p是q的充分条件． (2)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作“p q”．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． (3)对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释． ①“若p，则q”形式的命题为真命题． ②(充分性)只要有条件p，就一定有结论q. ③(必要性)为得到结论q，具备条件p就足够了． ④一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p的成立是必要的．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 2．若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？举例说明． 提示：不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． [对点训练] 1.使x>1成立的一个必要条件是 (　　) A．x>0　　　 B．x>3 C．x>2 D．x<2 解析：只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出． 答案：A　 2.已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件． 答案：充分　必要 [解]　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． (3)法一：由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． [对点训练] 1．直线y＝kx＋b过原点的充分条件是 (　　) A．b＝0　 B．b>0　　C．b<0　 D．b∈R 解析：b＝0时，直线y＝kx过原点，故选A. 答案：A　 2.(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是 (　　) A．2＜x≤3 B．0≤x＜1 C．0＜x≤2 D．1＜x＜2 解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2}⊆{x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2}⊆{x|0＜x＜3}，故选C、D. 答案：CD　 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　 [对点训练] 1.已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 2．已知p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 发展理性思维 1．若p是q的充分条件，则q是p的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 解析：因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 答案：B　 解析：以“x＝y”作为条件可推出x2＝y2；当x＝y＝0时，B不成立；当x＝y<2时，C不成立；当x＝y＝1时，D