1.2.1 第二课时 充要条件（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二课时　充要条件 1．充要条件的定义 一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q. 2．“⇒”与“⇔”都具有传递性 如果p⇒q，q⇒s，那么 ； 如果p⇔q，q⇔s，那么 ， 当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． p⇒q q⇒p p⇒s p⇔s 1．从逻辑推理角度看充分条件和必要条件 2.从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表： 1．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的 (　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1， 则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立， 但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立． 答案：B　 2．“x>1”是“x＋2>3”的________条件． 解析：当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件． 答案：充要 3．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件． 解析：若△ABC是锐角三角形，则其三个角都是锐角；若∠ABC为锐角，则△ABC可能是锐角三角形，也可能是直角或钝角三角形，所以是充分不必要条件． 答案：充分不必要 [解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件． (4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．　　 [对点训练] (多选)在下列四个结论中，正确的有 (　　) A．x2>4是x3<－8的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 解析：对于结论A，由x3<－8⇒x<－2⇒x2>4，但x2>4⇒x<－2或x>2⇒x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故A正确；对于结论B，由AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，但在直角△ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2＋b2＝0⇔a＝b＝0，故C不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确． 答案：AD　 [证明]　先证必要性： ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2 ＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2 ＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0. [方法技巧]　充要条件证明的两个思路 直接法 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性 集合思想 记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件 [对点训练] 证明关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：①充分性：∵a－b＋c＝0， ∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0， ∴x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充分条件． ②必要性：∵x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0， ∴a－b＋c＝0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的必要条件． 综合①②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. [拓展] 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 2．本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 1．求参数值(范围)的一般步骤 (1)化简：化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件． (2)转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题． (3)列式：利用集合间的