专题03 不等式性质与证明-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

专题03不等式性质与证明 1、 真题特点分析： 1.【2022年中科大3】已知， （1）求满足什么条件恒成立。 （2）若存在,使得则满足什么条件。 答案：，q=0 解析：（1）令 故即. （2） 的区间只有两段. 故当.即，则有四重根，即 经过对比系数，可知. 故当.即，则有两个不同根。于是只能一个是三重根，是一重根。即 综上所述，. 2. 【2020中科大11．】已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立． 解析：考虑积分不等式放缩，由于 ， 从而当时，该不等式不成立． 3.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（ ） A. B. C. D. ，，成等差数列 解析：根据对称性可选ABC 二、知识要点拓展 1. 作差比较与作商比较法 作差比较： 作商比较法： 注：作完差之后，我们一般采用配方或因式分解 只有正数的比较大小我们才会采用作商比较 2. 逐步调整法 特征：变量的个数大等于三个； 变量之间满足对称性； 等号在相等或极端值时取到。 注：逐步调整法可以和反证法相结合；这样步骤显得更精简些。 3.绝对值不等式 公式： 等号成立条件：A与B同号或异号时取到 注：不等式中加减号的选取依照具体题目的特点而定，关键是削去变量。 不等式中的等号成立条件一定要牢固掌握 不等式可以从两个进行推广 4．构造法与放缩法 构造法：一般我们可以构造函数，三角形或四边形来解决不等式的证明问题；这些问题需要我们丰富的联想和扎时的基础。 放缩法：一般运用在多变量求和的不等式中，许多式子在没有放缩时是无法求和的，经常是需要放缩之后，通过裂项相削来求和。所以，这类题目经常和数列结合在一起考。 5．不等式的衍生问题 不等式经常和函数，数列等内容结合在一起考，属于比较重要和综合的考点；这更要求我们在打牢基础的同时，积极思考，注意类比和推广，这样才能掌握好这块内容。 三、应试技巧和准备策略 强基计划中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。 证明不等式没有固定的程序，证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强，一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有： 反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法（如构造函数、构造图形）等。 四、例题