专题04 函数的性质-2023年高考数学尖子生强基计划校考讲义及强基真题解析

专题04 函数的性质 一、知识要点拓展 1、映射 对于任意两个集合，依对应法则，若对中的任意一个元素在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射，记作其中称为像，称为原像。 如果是一个映射且对任意都有则是到上称之为单射. 如果是映射且对任意都有一个使得则称是到上的满射. 如果既是单射又是满射，则是到上叫做一一映射. 如果是从集合到集合上的一一映射，并且对于中每一个元素，使在中的原像和它对应，这样所得的映射叫做的逆映射，记作 2、函数方程问题 （1）代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数 例.设求的解. （【解析】分别用带入） （2）待定系数法 当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解. 例.已知是一次函数，且，求. （【解析】设求解） 3、函数的性质 设函数的定义域为 ★单调性： （1） 传统定义：在区间上，若，如果，则在区间递增；如果，则在区间递减； （2） 导数定义：在区间上，如果，则在区间递增；如果 ，则在区间递减； 注意： ★复合函数的单调性： （1） 增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 （2） 对于取值恒为非负数的函数 增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数 增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数 （3） 若、都是增（减）函数，则为增函数； 若、一个增函数，一个减函数，则为减函数。简称“同增异减” ★奇偶性： （1） 若函数满足（），则叫做奇函数，其图象关于原点对称； （2） 若函数满足（），则叫做偶函数，其图象关于轴对称； ★周期性： （1）一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期。 （2）对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。 证明：，所以函数的一个周期为。 （3）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。 （4）对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。 ★对称性（分函数图像的自对称及函数图像的互对称） （1）函数满足时，函数的图像关于直线对称。特别的，时，该函数为偶函数。 证明：在函数上任取一点，则，点关于直线的对称点为。，故点也在函数的图像上。由于点是图像上任意一点，因此，函数的图像关于直线对称。 （2）函数满足时，函数的图像关于点对称。特别地，当时，函数为奇函数。 证明：在函数上任取一点，则，点关于点的对称点为 。，即点在的图像上。由于点是函数上任意一点，因此，函数关于点对称。 （3）函数的图像与的图像关于直线对称。 证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称的点为。由于，故点在函数上。由于点是上任意一点，因此与关于直线对称。 ★函数周期性和对称性之间的联系 （1）设是定义在上的函数，其图像关于直线和对称，则是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于直线和对称，故，从而 。 将上式的以代换，得。 所以 即是上的周期函数，且是它的一个周期。 （2）设是定义在上的函数，其图像关于点中心对称，且其图像关于直线对称，则函数是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于点对称，故，关于直线对称，故 ，从而有。 将上式中的以代换，得。 所以 ， 即是上的周期函数，且是它的一个周期。 （3）设是定义在上的函数，其图像关于点和（）对称，则是周期函数，且是它的一个周期。 证明：关于点和（）对称，故， ，，从而有。 将上式中的由替换，得 所以， 即是周期函数，且是它的一个周期。 4.抽象函数问题的解法 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。 （1）函数性质法 函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的。抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性