专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法

专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法 专题11 圆锥曲线第三定义与点差法 微点2 圆锥曲线中点弦问题与点差法 【微点综述】 以圆锥曲线中点弦为背景的高考题、模拟题层出不穷，常用方法是点差法．点差法在圆锥曲线中应用广泛，可以用于求弦长、中点弦直线方程、轨迹问题、定点（定值）问题、面积问题、最值及取值范围问题、存在性问题等，常与向量、圆等知识结合． 三个微点我们讨论了圆锥曲线第三定义及其推广、应用．下面我们来看第三次推广——中点弦问题与点差法． 一、圆锥曲线第三定义第三次推广 【中点弦·思维引导1】已知AB是圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？ 【解析】点P是AB中点，∴（垂径定理），∴． 【中点弦·思维引导2】已知AB是椭圆的一条弦，点P是AB中点，当AB和OP斜率存在时．思考：是否为定值？ 【解析】设，，则． 点A和点B在椭圆上，则有 作差得： ∴，即．（此方法名为“点差法”，即设点十作差） 【中点弦·思维引导3】已知在椭圆上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在椭圆上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导4】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在双曲线上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导5】已知在双曲线上，点P是AB的中点，当AB和OP斜率存在时．求证：为定值． 【解析】设，，则， 点A和点B在双曲线上，则有 作差得， ∴，即． 【中点弦·思维引导6】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB斜率存在时，求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在抛物线上，则有 作差得，∴，即． 【中点弦·思维引导7】已知在抛物线上，点P是AB的中点，当AB不与y轴垂直时，求证：为定值． 【解析】设，，则． 点A和点B在抛物线上，则有 作差得，∴，即． 同理可证焦点在轴负半轴和轴负半轴的情形． 总结上面的思考我们可得如下结论： 【结论1】为椭圆的不平行于对称轴的弦，为线段的中点，为原点，则，即． 证明：设，则①，②， 由点差法，两式相减得，由线段中点坐标公式，得 ． 【评注】此方法称之为点差法，设点作差，设而不求． 同理可证如下结论： 【结论2】为椭圆的不