专题12 双曲线综合大题-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题12 双曲线综合大题 目录 【题型一】轨迹：交轨法与代入法 1 【题型二】常规韦达定理应用 4 【题型三】定点1：直线定点 6 【题型四】定点2：等角定点 8 【题型五】定点3：圆定点 10 【题型六】定直线 13 【题型七】定值 15 【题型八】面积最值 17 【题型九】参数最值与范围 20 【题型十】与双曲线有关的应用题 22 培优第一阶——基础过关练 24 培优第二阶——能力提升练 28 培优第三阶——培优拔尖练 33 【题型一】轨迹：交轨法与代入法 【典例分析】 已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线. (1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标； (2)设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程； 【答案】(1)顶点坐标，，焦点坐标、(2) 【分析】（1）分析可知双曲线的顶点和焦点均在上，联立直线与双曲线的方程，可求得双曲线的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标； （2）设点，利用向量共线的坐标表示结合化简可得出轨迹的方程. （1） 解：因为反比例函数的图象在第一象限和第三象限， 第一、三象限的角平分线所在直线的方程为， 所以，双曲线的顶点和焦点均在直线上， 联立可得或，故双曲线的顶点坐标、. 所以该等轴双曲线的焦距为， 设双曲线的焦点坐标为，则，解得， 因此，双曲线的焦点坐标为、. （2） 解：因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且， 设交点，，且，， 所以，，① ，且，， 所以，，② 因为点在双曲线上，则，且，将代入①式化简可得，③ 将代入②式化简可得，④ ③式与④式相乘可得，可得，因此，轨迹的方程为. 【提分秘籍】 基本规律 求轨迹思维： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程. 【变式训练】 1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程； (3)若动圆P过点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据AD与AB垂直可求出斜率，再由点斜式即可求出； （2）可得M即为外接圆圆心，根据直线AB和AD方程可求出点A坐标，即可求出半径，得出圆的方程； （3）由题可得，然后根据双曲线的定义即得. （1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为，又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，即 （2）由，解得点A的坐标为，因为矩形ABCD两条对角线的交点为， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为； （3）因为动圆P过点N，所以是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即，故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支， 可设双曲线的方程为，因为实半轴长，半焦距， 所以虚半轴长，从而动圆P的圆心的轨迹方程为． 2..已知曲线C上任意一点满足方程. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线与曲线C在y轴右侧交点为E、F，求线段中点G的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）结合双曲线定义即可判断； （2）设点，，，得，两式作差，结合中点坐标公式、斜率公式有，即可求出G的轨迹方程 （1）设，，则，等价于， ∴曲线C为以，为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，故曲线C的方程为； （2）设点，，则 ，两式作差得， 又G为线段中点，得，则 ，即， 故G的轨迹方程为. 【题型二】常规韦达定理应用 【典例分析】 已知点在双曲线上. (1)求双曲线的渐近线方程; (2)设直线与双曲线交于不同的两点，直线分别交直线于点.当的面积为时，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由双曲线的性质求解， （2）由两点坐标表示，联立直线与双曲线方程，由韦达定理化简，再由列方程求解 （1） 将点代入方程，解得， 所以双曲线C的方程为，渐近线方程为； （2） 联立，整理得，由题意， 得且，设点E，F的坐标分别为，由韦达定理得， 直线的方程为，令，得，即，同理可得， ， ， 所以的面积，即， 解得或，又且，所以k的值为. 【提分秘籍】 基本规律 利用韦达定理解大题 （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与