专题11 双曲线图像性质与离心率-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

专题11 双曲线图像性质与离心率 目录 【题型一】求轨迹 3 【题型二】方程与图像 6 【题型三】求双曲线的方程 9 【题型四】双曲线第一定义 12 【题型五】 双曲线焦半径（第二定义） 14 【题型六】双曲线第三定义 17 【题型七】双曲线渐近线 19 【题型八】焦点三角形 21 【题型九】离心率1：焦点直角三角形型 23 【题型十】离心率2：双三角形余弦定理型 26 【题型十一】离心率3：共焦点椭圆与双曲线 28 【题型十二】离心率4：焦点弦定比分点 31 【题型十三】焦点三角形内心 33 【题型十四】计算之小题大做：韦达定理 37 【题型十五】计算之小题大做：暴力计算 38 培优第一阶——基础过关练 40 培优第二阶——能力提升练 43 培优第三阶——培优拔尖练 48 综述 1.双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0). 2.双曲线标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b； a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3. 性质： ①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a； ②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b； 4.渐近线求法结论： 可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得； 可巧设共渐近线双曲线： 与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ (λ≠0)． 6. 5.渐近线的一些二级结论： （1）焦点到渐近线的距离为b （2）定点到渐近线的距离为 （3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为 （4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角 （5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角 （6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则. （7）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论： ①OM·ON=a2+b2；②；③ 7.离心率： ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 8.焦点三角形与正弦定理 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有. 9.焦点三角形面积公式 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为. 【题型一】求轨迹 【典例分析】 已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】当在圆内时，由几何性质可得，此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，,此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，从而可得答案. 【详解】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1 . 连接, 则, 所以 则 此时的轨迹是以为焦点的椭圆. 当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心. 当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点, 则, 线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2 . 连接, 则, 所以 则 此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支. 同理当在圆上运动时，还会得到 所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以 故选： D 【提分秘籍】 基本规律 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 【变式训练】 1.圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________ ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点 【答案】①②④⑤ 【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线