专题15 抛物线-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题15：抛物线 考点一、抛物线的概念及应用 1．已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由抛物线的定义与焦半径公式直接求解即可. 【详解】由题可知，抛物线准线，可得，解得， 所以该抛物线的焦点到其准线的距离为. 故选：A. 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（    ） A．2 B．4 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】由抛物线的定义设点坐标，由题意列方程求解 【详解】依题意，设，则， ，解得或， 故选：D 4．抛物线的准线方程是，则实数a的值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由准线方程写出抛物线标准方程，即可得参数a的值. 【详解】由已知抛物线的方程可得：，其准线为， 所以其标准方程为，即. 故选：A. 5．双曲线与抛物线的准线交于A，B两点，若，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】联立准线方程和双曲线方程得到，再结合列方程，解方程即可. 【详解】因为抛物线：，所以准线方程为，联立，得，又，所以，又，所以. 故选：D. 6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 7．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D． 【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 8．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, 解得： 9．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离. 【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为是该抛物线上的两点，故， 所以， 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题. 考点二、抛物线的有关最值 10．已知函数的图象上一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数转化为，，作出图像，利用抛物线的定义可得，由此能求出的最小值． 【详解】函数转化为，，又，，如图所示， 为抛物线的焦点坐标，过作准线，交准线于点，交抛物线于点， 此时由抛物线的定义可得， 当点不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得，即， 所以的最小值为． 故选：C． 11．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______. 【答案】 【分析】设，应用两点距离公式及抛物线定义得到、关于x的表达式，由应用基本不等式求其最大值. 【详解】由题意知：，； 因为，， 所以； 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 故答案为：. 12．已知抛物线：的焦点为，圆：，过点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，且点，在同一象限，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】确定抛物线焦点坐标和圆的圆心以及半径，设，，联立，求得，利用抛物线的焦半径公式结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由已知得．显然，直线不与轴垂直． 圆：的圆心为,半径为3, 设直线：．联立 ，得，． 设，， ，则，得， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为12， 故选：B 13．是抛物线上