专题14 双曲线离心率、渐近线、定值、定点和最值问题-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题14：双曲线离心率、渐近线、定值、定点和最值问题 考点一、双曲线的焦距、实轴长几何性质 1．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由双曲线方程，可知渐近线方程，根据直线与圆的弦长公式，可得答案. 【详解】由，则该双曲线的渐近线方程为， 不妨设直线，即被圆所截得的弦长为， 则，由双曲线的性质，可知，即， 解得，故该双曲线的焦距为. 故选：A. 2．已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线焦点的性质可，再联立直线与双曲线的方程，根据判别式为0得出等式，代入求解即可. 【详解】因为双曲线与椭圆共焦点，所以，即． 又双曲线与直线相切，由，化简得， 所以，即， 将代入方程化简得，即，，故，解得或（舍去）． 故选：D． 3．若双曲线的一个焦点为，则（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】由题意可得，解之即可得出答案. 【详解】解：因为双曲线的一个焦点为， 所以，解得. 故选：A. 4．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线E的焦距等于______. 【答案】 【分析】由题可求渐近线方程，然后可得，，即求. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴，即， ∴，， ∴的焦距等于. 故答案为：. 5．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线l与C的一条渐近线垂直，垂足为A，且，则双曲线C的实轴长为______． 【答案】 【分析】令，由给定条件求出，再在中由余弦定理建立关系即可求解作答. 【详解】令，则，而双曲线的渐近线为，则， 令坐标原点为O，有，，，则， 在中，由余弦定理得，整理得，则， 所以双曲线C的实轴长为． 故答案为： 考点二、双曲线的离心率和渐近线 6．已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且斜率的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律得到，再由直线的斜率可得的正切值，进而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得，的关系，进而求出双曲线的渐近线方程． 【详解】解：因为，而， 所以，可得， 即， 因为在第二象限，由双曲线的定义可得， 所以， 过点且斜率为的直线，可得， 又，解得或（舍去）， 在中，由余弦定理可得：， 整理可得，又，所以，所以， 所以双曲线的渐近线为； 故选：A． 7．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求得，再根据离心率公式及同角三角函数的基本关系即可求得的离心率 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得， 则， 得， ， 故选：C 8．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用双曲线的几何性质和 的几何性质即可求解. 【详解】 如图，由双曲线的几何性质可知 ，由条件可知 ， ， 在 中， ，即 ， ； 当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即 ， ， 由双曲线的几何性质知 ，所以离心率的取值范围是 ； 故选：C. 9．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由渐近线判断与的关系，进而得到与的关系，从而得到离心率. 【详解】由双曲线方程得知：双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程知： 即：，即：，又，∴， ，∴. 故选：B. 10．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线截圆的弦长计算出的值，利用双曲线的离心率公式可求得双曲线的离心率的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为， 所以，圆心到直线的距离为，解得， 因此，双曲线的离心率的值为. 故选：A. 11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解． 【详解】解：如图， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： 得， ，，设，， 在中由勾股定理得， 化简得：该式可变成：，即． 故选：C. 12．双曲线：被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为 ______. 【答案】 【分析