3.3抛物线 题型分类训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《抛物线》核心题型分类训练 题型一：抛物线的定义及其简单应用 题型二：求抛物线的轨迹方程 题型三：抛物线上的点到定点的距离及最值 题型四：抛物线上的点到定点和焦点距离和、差最值 题型五：求抛物线的焦点坐标及准线方程、标准方程 题型六：抛物线的焦点弦及焦半径 题型七：抛物线中的面积问题 题型八：抛物线中的定点、定值、定直线问题 题型一：抛物线的定义及其简单应用 1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|＝3，则点A的纵坐标为（　　） A． B． C． D．2 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣2的距离为4，则MF＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣2，则|PF|＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|＝10，AB的中点横坐标为4，则p＝（　　） A．2 B． C．4 D． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若|MF|＝|FN|＝3，则p＝（　　） A．2 B． C． D．4 题型二：求抛物线的轨迹方程 6．动点P到直线x+4＝0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（　　） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 8．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 9．已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　） A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x 10．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是　 　 ． 题型三：抛物线上的点到定点的距离及最值 11．在平面直角坐标系xOy中，已知定点Q（3，0），点P在抛物线C：y2＝4x上运动，则|PQ|的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 12．抛物线上一点P到Q（0，2）的距离的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 13．若点P为抛物线C：y＝2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 14．若抛物线y2＝4x上一点P（x0，y0）到点（5，0）的距离最小，则点P的横坐标x0为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知M是抛物线y2＝16x上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°，则|FM|等于（　　） A．16 B．20 C．4 D．8 题型四：抛物线上的点到定点和焦点距离和、差最值 16．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是C上的一动点，A（4，2），则|PA|+|PF|的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 17．已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 18．已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作准线的垂线，垂足为M，若G（4，0），则|PG|+|PM|的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 19．已知点M是抛物线y2＝16x上一点，F是抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 20．已知点P是抛物线C：y2＝8x上的一点，设点P到直线x＝﹣2和的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 21．（多选）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线上，点A（4，3），B（1，3），则下列说法正确的是（　　） A．|PA|+|PB|的最小值为2 B．|PA|+|PF|有最小值无最大值，且最小值为5 C．|PA|﹣|PF|有最大值和最小值，若在点P1处，|PA|﹣|PF|取到最大值，在点P2处，|PA|﹣|PF|取到最小值，则P1P2的中点为（3，2） D．|PB|﹣|PF|有最大值，且此时P的坐标为（1，2） 22．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝x的焦点为F，A，B为C上两点，OA⊥AB．则|FA|+|FB|的最小值为　 　 ． 题型五：求抛物线的焦点坐标及准线方程、标准方程 23．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 24．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点A（4，y0）到焦点的距离是6，则其准线方程为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．y＝﹣2 D．y＝2 25．抛物线x＝﹣3y2的准线方程为（　　） A． B． C． D． 26．焦点为（1，0）的抛物线的标准方程为　 　 ． 27．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是　 　 ． 题型六：抛物线的焦点弦及焦半径 28．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝2上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A． B． C． D．9 29．设抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线x﹣y﹣1＝0经过焦点F，且与E相交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为P，Q，设PQ的中点为R，则|RF|＝（　　） A．2 B．3 C． D． 30．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（　　） A． B． C．1 D．2 31．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B，C均在抛物线上，其中A（1，2），且点F是△ABC的重心，则直线BC的方程为（　　） A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+2y+1＝0 32．已知F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心．若|FA|+|FB|的最大值为10，则p＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（多选）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　） A．F的坐标为（1，0） B．抛物线C的准线方程为x＝﹣2 C．若y0＝2，则 D． 34．（多选）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（　　） A．抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1） B．若|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C．以线段AF为直径的圆与x轴相切 D．以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 35．（多选）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（　　） A．F的坐标为（1，0） B．y0＝4 C． D．S△OFM＝2 36．（多选）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　　） A．F的坐标为（4，0） B．x1x2＝4 C．若|AF|＝8，则x1＝6 D．∠AOB为钝角 37．（多选）设A为抛物线W：y2＝2px（p＞0）的焦点，B为W的准线与x轴的交点，点C在y轴的正半轴上，过点A的直线交W于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形，则（　　） A．p＝2 B． C．D为线段AM的中点 D． 38．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　 　 ． 39．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为 　 　 ． 40．过点M（6，4）的直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为　 　 ． 41．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且|PQ|＝4，则p＝ 　 　 ． 42．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6，则p＝　 　 ． 43．已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝　 　 ． 44．已知圆x2+y2﹣4x＝0的圆心F是抛物线C的焦点． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交抛物线C于A，B两点，且点P（1，﹣2）是弦AB的中点，求直线l的方程． 45．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|的最小值为4． （1）求p的值； （2）若线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为，求直线l的方程． 题型七：抛物线中的面积问题 46．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，FK为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则△PKF的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 47．设抛物线M：y2＝4x的焦点为F，不经过F的直线与M交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（4，4），且△BCF与△ACF的面积之比是1：4，则|BF|＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 48．已知斜率为1的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，当OA⊥OB时，△OAB的面积为（　　） A．16 B． C． D． 49．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A（1，y0）到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6 题型八：抛物线中的定点、定值、定直线问题 50.已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点F在直线2x+3y﹣2＝0上，A，B是抛物线C上两个不同的点． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线OA，OB的斜率为kOA，kOB，若kOA•kOB＝﹣2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标． 51.已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上， （1）求E的标准方程； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣16，证明：直线MN过定点． 52.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，F，M（m，2）是抛物线C上一点，且|MF|＝2． （1）求抛物线C的方程． （2）若P（4，y0）（y0＞0）是抛物线C上一点，过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的料本分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 53.已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． （1）若M点坐标为（0，3），求AM的最小值； （2）若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 54.设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由． 55.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，Γ上任意一点P到F的距离与到点E（2，0）的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线Γ的标准方程； （2）已知过点E的直线l1，l2与Γ分别交于点A，C与点B，D，延长AB，DC交于点Q，线段AC与BD的中点分别为M，N． ①证明：点Q在定直线上； ②若直线l1⊥l2，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围． 56.已知抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1与Ω交于M，N两点，直线l2与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求Ω的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线x＝﹣1上． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《抛物线》核心题型分类训练 题型一：抛物线的定义及其简单应用 题型二：求抛物线的轨迹方程 题型三：抛物线上的点到定点的距离及最值 题型四：抛物线上的点到定点和焦点距离和、差最值 题型五：求抛物线的焦点坐标及准线方程、标准方程 题型六：抛物线的焦点弦及焦半径 题型七：抛物线中的面积问题 题型八：抛物线中的定点、定值、定直线问题 题型一：抛物线的定义及其简单应用 1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|＝3，则点A的纵坐标为（　A　） A． B． C． D．2 【解析】 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|＝3，设点A的坐标为（x，y），由抛物线的性质得，所以x＝2，故y2＝8，所以点A的纵坐标为． 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝﹣2的距离为4，则MF＝（　B　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为：x＝﹣1．因为点M在C上，且M到直线x＝﹣2的距离为4，所以M点的横坐标为2．所以M点到准线x＝﹣1的距离为3，根据抛物线的定义可得：|MF|＝3． 3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣2，则|PF|＝（　C　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 由题意抛物线y2＝4x，则焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1，又因为直线AF的斜率为﹣2，则直线AF的方程为：y﹣0＝﹣2（x﹣1），即y＝﹣2x+2，因xA＝﹣1，代入方程可得点A坐标为（﹣1，4），又PA⊥l，所以yp＝4，即得点P（4，4），则|PF|＝|PA|＝4+1＝5． 4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|＝10，AB的中点横坐标为4，则p＝（　A　） A．2 B． C．4 D． 【解析】 设A（x1，y1），B（x2，y2），而AB的中点横坐标为4，即x1+x2＝8，由抛物线定义知：|AB|＝x1+x2+p＝10，所以8+p＝10，即p＝2． 5．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M是y轴上一点，线段MF的延长线交C于点N，若|MF|＝|FN|＝3，则p＝（　A　） A．2 B． C． D．4 【解析】 记抛物线的准线为，如图所示，作ND⊥l于D点，交y轴于A点，则OF∥AN，因为|MF|＝|FN|＝3，所以F为MN的中点，所以由中位线的定理可知，，，解得p＝2． 题型二：求抛物线的轨迹方程 6．动点P到直线x+4＝0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（　D　） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【解析】 由题意分析可知，动点P到直线x+2＝0与到M（2，0）的距离相等．由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线． 7．动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　D　） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【解析】 ∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x＝﹣2的距离大1，∴将直线x＝﹣2向左平移1个单位，得到直线x＝﹣3，可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x＝﹣3的距离．因此点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x＝﹣3为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），可得 3，得2p＝12，∴抛物线的方程为y2＝12x，即为点P的轨迹方程． 8．点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为（　B　） A．y2＝16x B．y2＝﹣16x C．y2＝24x D．y2＝﹣24x 【解析】 ∵点M到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0的距离小2，∴点M到直线x＝4的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等．根据抛物线的定义可得点M的轨迹是以点（﹣4，0）为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线．可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），由4得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x． 9．已知动圆P与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1相外切，又与定直线l：x＝﹣1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　C　） A．y2＝4x B．y2＝﹣4x C．y2＝8x D．y2＝﹣8x 【解析】 令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆的半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，PA＝1+r，d＝r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA﹣d＝1，即（x+1）＝1，化简得：y2＝8x． 10．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是_______ ．y2＝16x 【解析】 依题意可知：点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，转化为点M与点F（4，0）的距离与它到直线l：x+4＝0的距离相等，满足抛物线的定义，所以P＝8，点M的轨迹方程是y2＝16x 题型三：抛物线上的点到定点的距离及最值 11．在平面直角坐标系xOy中，已知定点Q（3，0），点P在抛物线C：y2＝4x上运动，则|PQ|的最小值为（　A　） A． B．3 C． D． 【解析】 点P在抛物线C：y2＝4x上运动，则y2＝4x，设点P（x，y），定点Q（3，0），则|PQ|，当x＝1时，|PQ|的最小值为． 12．抛物线上一点P到Q（0，2）的距离的最小值为（　C　） A．1 B． C． D．2 【解析】 设P（x，y），则，当y＝1时取得等号，所以P到Q的距离的最小值为． 13．若点P为抛物线C：y＝2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（　D　） A．1 B． C． D． 【解析】 由y＝2x2，得，∴2p，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为． 14．若抛物线y2＝4x上一点P（x0，y0）到点（5，0）的距离最小，则点P的横坐标x0为（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ∵P（x0，y0）在抛物线上，∴，则P与点M（5，0）的距离d ．∵x0≥0，∴当x0＝3时，P与点M（5，0）的距离最小，等于4，此时x0＝3． 15．已知M是抛物线y2＝16x上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°，则|FM|等于（　A　） A．16 B．20 C．4 D．8 【解析】 如图所示，抛物线的准线l：x＝﹣4与x轴相交于点P，作MN⊥l于N，过F作FE⊥MN于E，因为∠xFM＝60°，所以∠EFM＝30°，设|FM|＝m，在△EFM中，|EM|，显然|NE|＝|PF|＝8，又由抛物线的定义得|MN|＝|MF|，所以，解得：m＝16，即|FM|＝16． 16．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是C上的一动点，A（4，2），则|PA|+|PF|的最小值为（　B　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 由题意，抛物线C：y2＝8x的准线为x＝﹣2，如图所示，设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|＝|PA|+d≥4﹣（﹣2）＝6，所以|PA|+|PF|的最小值为6． 17．已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（　C　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 抛物线y2＝12x的焦点为F（3，0），点P在抛物线上，定点Q（5，2），如图所示， 因为|PF|等于点P到准线的距离，作PD垂直于准线x＝﹣3于D，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|， 所以当PQ垂直于准线时交准线于E，|PQ|+|PF|有最小值，|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|≥|EQ|，最小值为：5＝3+5＝8，当且仅当P在EQ与抛物线的交点时取得等号． 18．已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作准线的垂线，垂足为M，若G（4，0），则|PG|+|PM|的最小值为（　A　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 由题意得，抛物线C的焦点F（0，3），准线方程为y＝﹣3，由抛物线的定义得|PM|＝|PF|， 所以|PG|+|PM|＝|PG|+|PF|，当G，P，F三点共线时，|PG|+|PF|＝|FG|最小，等于． 19．已知点M是抛物线y2＝16x上一点，F是抛物线的焦点，A在圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1上，则|MA|+|MF|的最小值为（　B　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 抛物线y2＝16x的准线方程为：x＝﹣4 过点M作MN⊥准线，垂足为N ∵点M是抛物线y2＝16x的一点，F为抛物线的焦点 ∴|MN|＝|MF| ∴|MA|+|MF|＝|MA|+|MN| ∵A在圆C：（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，圆心C（3，1），半径r＝1 ∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小 ∴（|MA|+|MF|）min＝（|MA|+|MN|）min＝|CN|﹣r＝7﹣1＝6 ∴（|MA|+|MF|）min＝6 20．已知点P是抛物线C：y2＝8x上的一点，设点P到直线x＝﹣2和的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（　A　） A．5 B． C． D． 【解析】 由题知C的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，∵点P在C上，∴d1＝|PF|，∴d1+d2＝|PF|+d2，联立方程组，得，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×64＝﹣64＜0， ∴直线x﹣y+8＝0与C无公共点，如图所示，∴|PF|+d2的最小值即为点F（2，0）到直线x﹣y+8＝0的距离，∴d1+d2的最小值为|PF|+|d2|≥＝5． 21．（多选）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线上，点A（4，3），B（1，3），则下列说法正确的是（　BC　） A．|PA|+|PB|的最小值为2 B．|PA|+|PF|有最小值无最大值，且最小值为5 C．|PA|﹣|PF|有最大值和最小值，若在点P1处，|PA|﹣|PF|取到最大值，在点P2处，|PA|﹣|PF|取到最小值，则P1P2的中点为（3，2） D．|PB|﹣|PF|有最大值，且此时P的坐标为（1，2） 【解析】 易知抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，则|PA|+|PB|≥|AB|＝3，故选项A错误；易知|PF|等于点P到准线的距离，设点P到准线的距离为d，此时|PF|+|PA|＝d+|PA|，当PA垂直于准线时，d+|PA|最小，此时最小值为4﹣（﹣1）＝5，因为P可无限远离，所以|PF|+|PA|无最大值，故选项B正确；根据三角形三边关系（共线时取等号），因为||PA|﹣|PF||≤|AF|， 当且仅当P在直线AF上时，等号成立（如图1），|PA|﹣|PF|在P1处取得最大值，|PA|﹣|PF|在P2处取得最小值，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），直线AF的方程为y＝x﹣1，联立，消去y并整理得x2﹣6x+1＝0，由韦达定理得x1+x2＝6，此时y1+y2＝x1+x2﹣2＝4，则P1P2的中点为，即（3，2），故选项C正确；根据三角形三边关系（共线时取等号），||PB|﹣|PF||≤|BF|， 当且仅当P在直线BF的延长线上时取最大值（如图2），故选项D错误． 22．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝x的焦点为F，A，B为C上两点，OA⊥AB．则|FA|+|FB|的最小值为　　 ． 【解析】如图所示，设OA为y＝kx，那么联立直线GA和抛物线可得，那么求得，那么AB方程：，因此，所以（k2x﹣k2﹣1）2＝k6x，因此k4x2﹣（k6+2k4+2k2）x+（k2+1）2＝0，解得，因此，当且仅当，即时，等号成立，因此|FA|+|FB|的最小值为． 题型五：求抛物线的焦点坐标及准线方程、标准方程 23．抛物线y＝2x2的焦点坐标是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 抛物线y＝2x2的方程即，∴，故焦点坐标为 24．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点A（4，y0）到焦点的距离是6，则其准线方程为（　A　） A．x＝﹣2 B．x＝2 C．y＝﹣2 D．y＝2 【解析】 由题可得，解得：p＝4，所以抛物线的准线方程为． 25．抛物线x＝﹣3y2的准线方程为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 由抛物线x＝﹣3y2，得y2，可知抛物线的开口向左，2p，p，则准线方程为x． 26．焦点为（1，0）的抛物线的标准方程为____________．y2＝4x 【解析】 抛物线的焦点为（1，0），可得焦点在x轴上，且1，解得p＝2，故抛物线的标准方程为：y2＝4x． 27．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是　　 ．4 【解析】 由y2＝2px＝8x，知p＝4，而焦点到准线的距离就是p． 题型六：抛物线的焦点弦及焦半径 28．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝2上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　B　） A． B． C． D．9 【解析】 如图所示，F（2，0），设直线l的方程为：x＝my+2，联立方程组，消去x可得y2﹣8my﹣16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣16，∵线段AB的中点M在直线y＝2上，∴y1+y2＝4，∴|y1﹣y2|4，∴S△AOB|OF|×|y1﹣y2|44． 29．设抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线x﹣y﹣1＝0经过焦点F，且与E相交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为P，Q，设PQ的中点为R，则|RF|＝（　C　） A．2 B．3 C． D． 【解析】 如图所示，因为直线x﹣y﹣1＝0过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F，则F（1，0），故抛物线E的方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x得y2﹣4y﹣4＝0，故y1+y2＝4，由题设知R的纵坐标与AB中点纵坐标相等，且R在准线上，而，故R（﹣1，2），所以． 30．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（　A　） A． B． C．1 D．2 【解析】 抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），焦点为F（，0），准线为l：x，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，则y02＝2p，由题意可得D（，），由于△MFD为等边三角形，则有|MF|＝|MD|＝|FD|，即有12p，可得p． 31．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B，C均在抛物线上，其中A（1，2），且点F是△ABC的重心，则直线BC的方程为（　A　） A．2x+y﹣1＝0 B．2x+y+1＝0 C．x+2y﹣1＝0 D．x+2y+1＝0 【解析】 因为抛物线y2＝4x，A，B，C均在抛物线上，点B（x1，y1），C（x2，y2），又点F（1，0）是△ABC的重心，所以，则，所以BC的中点为（1，﹣1），所以，所以则直线BC的方程为y+1＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1＝0． 32．已知F为抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心．若|FA|+|FB|的最大值为10，则p＝（　D　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 作抛物线的准线，如图所示，分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足为A1，B1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，因点为△ABC的重心，所以，则，故，因点C（x3，y3）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，故y3≥0，故， 又|FA|+|FB|的最大值为10，则，解得p＝4． 33．（多选）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　BC　） A．F的坐标为（1，0） B．抛物线C的准线方程为x＝﹣2 C．若y0＝2，则 D． 【解析】 根据抛物线C：y2＝8x，那么F（2，0），准线方程为x＝﹣2，因此选项A错误，选项B正确； 对于选项C，因为点P（x0，y0）在C上，那么，而y0＝2，那么4＝8x0，即，因此，因此选项C正确；对于选项D，|PF|＝x0+2≥2，当且仅当x0＝0，即P（x0，y0）在原点时，等号成立，因此选项D错误． 34．（多选）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（　BCD　） A．抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1） B．若|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到x轴的距离为3 C．以线段AF为直径的圆与x轴相切 D．以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切 【解析】 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，设A（x1，y1），B（x2，y2），对于选项A，抛物线的焦点坐标为F（0，1），即选项A错误；对于选项B，若|AF|+|BF|＝8，则y1+y2+2＝8，即，则线段AB的中点到x轴的距离为3，即选项B正确；对于选项C，以线段AF为直径的圆的直径为y1+1，又以线段AF为直径的圆的圆心到x轴的距离为，则以线段AF为直径的圆与x轴相切，即选项C正确；对于选项D，以A为圆心，线段AF的长为半径的圆的半径为y1+1，又A到抛物线的准线的距离为y1+1，即以A为圆心，线段AF的长为半径的圆与准线相切，即选项D正确． 35．（多选）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（　BD　） A．F的坐标为（1，0） B．y0＝4 C． D．S△OFM＝2 【解析】 由抛物线C：x2＝4y，可得p＝2，则焦点F（0，1），所以A错误；由抛物线的定义，可得|MF|＝y0+1＝5，解得y0＝4，所以B正确；由y0＝4，可得，所以x0＝±4，则， 36．（多选）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（　BCD　） A．F的坐标为（4，0） B．x1x2＝4 C．若|AF|＝8，则x1＝6 D．∠AOB为钝角 【解析】 如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，选项A，由已知得焦点F（2，0），所以A不正确；选项B，当直线的斜率不存在时，A（2，4），B（2，﹣4），则x1x2＝4，当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），与抛物线方程联立，得k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，则x1x2＝4，，所以B正确；选项C，由抛物线定义知，|AF|＝x1+2，若|AF|＝8，则x1＝6，所以C正确；选项D，由，则，所以∠AOB为钝角，所以D正确． 37．（多选）设A为抛物线W：y2＝2px（p＞0）的焦点，B为W的准线与x轴的交点，点C在y轴的正半轴上，过点A的直线交W于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形，则（　BC　） A．p＝2 B． C．D为线段AM的中点 D． 【解析】 如图所示，设A为抛物线W：y2＝2px（p＞0）的焦点，B为W的准线与x轴的交点，点C在y轴的正半轴上，过点A的直线交W于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形，设且菱形ABCD的边长为p，在Rt△BOC中|OC|＝2|OB|＝p，则，故，所以，B对；由题意，设，联立抛物线得，所以12x2﹣20px+3p2＝（2x﹣3p）（6x﹣p）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1＞x2，所以，则，又，，所以D为线段AM的中点，C对；综上，，D错；由题设条件无法确定参数p的值，A错． 38．斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　　 ． 【解析】 由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y（x﹣1），代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2；x1x2＝1，∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p2． 39．若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为 　　 ．6 【解析】 因为抛物线为y2＝4x，所以p＝2．设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则，即x1+x2＝4，故|AB|＝x1+x2+p＝4+2＝6． 40．过点M（6，4）的直线与抛物线y2＝8x相交于A，B两点，若M恰为AB的中点，则线段AB的长为　　 ．16 【解析】 设B（x2，y2），A（x1，y1）那么，两式相减得（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2）， 因此，因为AB的中点是M（6，4），所以．因此直线AB方程为y﹣4＝x﹣6，即x﹣y﹣2＝0，根据，得x2﹣12x+4＝0，则x1+x2＝12，x1x2＝4，所以． 41．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且|PQ|＝4，则p＝ 　　 ．1 【解析】 依题意有，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为，显然直线PQ的斜率不为0，则设直线PQ的方程为，联立，消去x得y2﹣2pmy﹣p2＝0，Δ＝4p2m2+4p2＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝2pm，．因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则．因为|PQ|＝4，所以，即，解得p＝1． ． 42．已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为抛物线C上任意一点，若|PF|+|PQ|的最小值为6，则p＝　　 ．6 【解析】 如图所示，分别过A、B、P、Q四点向准线作垂线，垂足分别为I、J、D、G， 由抛物线定义及梯形中位线可知：，，， ，易知|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|≥|QG|，则，即的最小值为，设直线，A（xA，yA），B（xB，yB），联立抛物线得，整理得y2﹣pmy﹣p2＝0，所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立，故，解得p＝6． 43．已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝　　 ．13 【解析】 抛物线C：x2＝6y的准线方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义得，，∵AB的中点的纵坐标为5，∴y1+y2＝10，∴ 44．已知圆x2+y2﹣4x＝0的圆心F是抛物线C的焦点． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l交抛物线C于A，B两点，且点P（1，﹣2）是弦AB的中点，求直线l的方程． 【解析】 （1）圆x2+y2﹣4x＝0的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，所以圆心坐标为F（2，0），则依题意抛物线C的焦点为F（2，0），设方程为y2＝2px，则，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x． （2）因为直线l过点P（1，﹣2），且斜率不为0，则设直线l的方程为x＝m（y+2）+1，联立，消去x得y2﹣8my﹣16m﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝8m，因为点P是弦AB的中点，所以，所以，所以直线l的方程为，即2x+y＝0． 45．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|的最小值为4． （1）求p的值； （2）若线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为，求直线l的方程． 【解析】 （1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过点（1，0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，设直线l的方程为x＝my+1，将其代入抛物线方程得y2﹣2pmy﹣2p＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝2pm，y1•y2＝﹣2p，由，因为p＞0，所以当m2＝0时，|AB|取最小值， 所以，解得p＝2． （2）已知线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为，设M（x0，y0），则，，所以，整理得4m2﹣9m+2＝0，解得m＝2或， 直线l的方程为x﹣2y﹣1＝0或4x﹣y﹣4＝0． 46．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴交于点K，以F为圆心，FK为半径的圆与抛物线C在第一象限的交点为P，则△PKF的面积为（　D　） A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】 抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线与x轴交于点K（﹣2，0），所以以F为圆心，FK为半径的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝16．圆与抛物线C在第一象限的交点为P，设P（x，y）．如图所示，由得（x+6）（x﹣2）＝0．因为点P在一象限，所以x＝2，y＝4．即P（2，4）．显然PF⊥FK，所以△PKF为直角三角形，所以△PKF的面积为． 47．设抛物线M：y2＝4x的焦点为F，不经过F的直线与M交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为（4，4），且△BCF与△ACF的面积之比是1：4，则|BF|＝（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 已知△BCF与△ACF的面积之比是1：4，则|AC|＝4|BC|，则xA：xB＝4：1，又xA＝4，即xB＝1，则1+1＝2． 48．已知斜率为1的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，当OA⊥OB时，△OAB的面积为（　C　） A．16 B． C． D． 【解析】 已知斜率为1的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，设直线AB的方程为：y＝x+b，其中b≠0，联立消x得：y2﹣4y+4b＝0，由Δ＝16﹣16b＞0，得b＜1且b≠0，设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），即y1+y2＝4，y1y2＝4b，因为OA⊥OB，所以，则b＝﹣4，直线AB的方程为：，原点O到直线AB的距离，则． 49．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A（1，y0）到其焦点和准线的距离之和为4，过C的焦点F的直线交C于P，Q两点．当时，的值为（　A　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6 【解析】 由题意可知：，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．则焦点F（1，0），根据题意可知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ：y＝k（x﹣1），k≠0，由，消去x整理得，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以， 又|OF|＝1，所以，解得，则，，则． 题型八：抛物线中的定点、定值、定直线问题 50.已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点F在直线2x+3y﹣2＝0上，A，B是抛物线C上两个不同的点． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线OA，OB的斜率为kOA，kOB，若kOA•kOB＝﹣2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标． 【解析】 （1）易知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，因为直线2x+3y﹣2＝0与x轴的交点坐标为（1，0），所以，解得p＝2，则抛物线为y2＝4x； （2）证明：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣4n＝0，此时Δ＝16m2+16n＞0，由韦达定理得y1y2＝﹣4n，所以，解得n＝2，此时满足Δ＞0．故直线AB恒过点（2，0）． 51.已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上， （1）求E的标准方程； （2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣16，证明：直线MN过定点． 【解析】 （1）已知点A（﹣4，2），B（2，8），C（4，2）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，将A（﹣4，2）代入抛物线方程，解得p＝4，将B（2，8）代入抛物线方程，解得，将C（4，2）代入抛物线方程，解得p＝4，根据题意可知p＝4，所以E的标准方程为x2＝8y； （2）因为x1x2＝﹣16，所以x1≠x2，不妨设直线MN：y＝kx+b，则联立方程组得，即x2﹣8kx﹣8b＝0，所以，则b＝2，则MN：y＝kx+2，即直线MN过动点（0，2）． 52.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，F，M（m，2）是抛物线C上一点，且|MF|＝2． （1）求抛物线C的方程． （2）若P（4，y0）（y0＞0）是抛物线C上一点，过点Q（1，﹣4）的直线与抛物线C交于A，B两点（均与点P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解析】 （1）因为点M（m，2）在抛物线上，所以4＝2pm，① 因为|MF|＝2，所以，② 联立①②，解得p＝2，m＝1，则抛物线C的方程为y2＝4x； （2）因为P（4，y0）（y0＞0）在抛物线C上，解得y0＝4，即P（4，4），易知过点Q（1，﹣4）的直线斜率不为0，不妨设直线AB方程为x＝m（y+4）+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x并整理得y2﹣4my﹣16m﹣4＝0，此时Δ＝16m2﹣4（﹣16m﹣4）＝16（m2+4m+1）＞0，解得或，由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16m﹣4，则，x1x2＝（my1+4m+1）（my2+4m+1）＝m2y1y2+m（4m+1）（y1+y2）+（4m+1）2＝16m2+8m+1，又，，所以．故k1k2为定值，定值为． 53.已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． （1）若M点坐标为（0，3），求AM的最小值； （2）若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 【解析】 （1）设A（x，y），又M（0，3），则， 当y＝1时，|AM|有最小值为2； （2）如图所示，设直线AB方程为y＝kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝0，联立，消去y整理得，，∴m2﹣4m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝4，则直线AB过定点N（0，4），又OH⊥AB，则H在以ON为直径的圆上（不含y轴交点），设ON的中点为R（0，2），则，所以，存在定点R（0，2），使得RH为定值． 54.设点F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）． （1）求抛物线C的方程； （2）过点E（0，2）作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S．已知|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，问：是否存在实数λ，使得k1+λk2为定值？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），直线AB的方程yx，由，得x2﹣2py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2＝2p，x1x2＝﹣p2，所以|x1﹣x2|2p，所以S△AOB|OF||x1﹣x2|2p＝2，p＞0，所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y． （2）存在λ＝1，使得k1+λk2为定值，由题意可得直线l1的方程y＝k1x+2，直线l2的方程为y＝k2x+2，联立，得x2﹣4k1x﹣8＝0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），所以x3+x4＝4k1，x3x4＝﹣8，|EP||x3|，|EQ||x4|，所以|EP|•|EQ|＝8（1），设R（x5，y5），S（x6，y6），同理可得x5+x6＝4k2，x5x6＝﹣8，所以|ER|•|ES|＝8（1），由|EP|•|EQ|＝|ER|•|ES|，得8（1）＝8（1），即，而k1≠k2，所以k1+k2＝0，所以存在λ＝1，使得k1+λk2为定值0． 55.已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，Γ上任意一点P到F的距离与到点E（2，0）的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线Γ的标准方程； （2）已知过点E的直线l1，l2与Γ分别交于点A，C与点B，D，延长AB，DC交于点Q，线段AC与BD的中点分别为M，N． ①证明：点Q在定直线上； ②若直线l1⊥l2，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围． 【解析】 （1）如图所示，设点P到准线的距离为d，抛物线E的准线方程为，由抛物线的定义，得，解得p＝2，当且仅当P，Q，F三点共线时，等号成立，所以抛物线E的标准方程为y2＝4x； （2）①证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线l1的方程为x＝my+2，直线l2的方程为x＝ny+2，联立消去x整理得y2﹣4my﹣8＝0，所以y1+y3＝4m，y1y3＝﹣8，联立，消去x，可得y2﹣4ny﹣8＝0，所以y2+y4＝4n，y2y4＝﹣8，所以直线AB的方程为，即，同理直线CD的方程为．联立，得，即，即4（y2+y1﹣y3﹣y4）x＝y1y2（y3+y4）﹣y3y4（y2+y1），即4（y2+y1﹣y3﹣y4）x＝﹣8y2﹣8y1﹣（﹣8y3﹣8y4），所以，即点Q在直线x＝﹣2上． ②由题意可知，l1，l2的斜率存在且均不为0，因为l1⊥l2，所以设直线l1的方程为x＝my+2，则直线l2的方程为，由①知，．所以，所以，所以，当且仅当，即m＝±1时取等号，又易知k1k2＜0，所以k1k2的取值范围为． 56.已知抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0）．过F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1与Ω交于M，N两点，直线l2与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． （1）求Ω的方程． （2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （3）证明：点H在直线x＝﹣1上． 【解析】 （1）抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），则有，则p＝2，所以抛物线Ω的方程为y2＝4x． （2）直线l1，l2与抛物线各有两个交点，可知直线l1，l2斜率存在且不为0，设直线l1的斜率为k， 则直线l1：y＝k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去x并整理得，此时，由韦达定理得，y1y2＝﹣4，由A为弦MN的中点，有，则，由垂直的条件，可将k换为，设E（x3，y3），P（x4，y4），同理得y3+y4＝﹣4k，y3y4＝﹣4，有B（1+2k2，﹣2k），当k＝1或k＝﹣1时，直线AB的方程为x＝3，当k≠1且k≠﹣1时，直线AB的斜率为，方程为，即（k2﹣1）y+（x﹣3）k＝0，可知x＝3时y＝0，所以直线AB过定点，其坐标为（3，0）． （3）证明：，同理得，此时直线ME的方程为，即，同理，直线NP的方程为，由，消去y解得x＝﹣1，故直线ME与直线NP的交点H在直线x＝﹣1上． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $