1.1.1 数列的概念及通项公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.1　数列的概念 第 1 课时　数列的概念及通项公式 1．数列的概念 定义 按照一定 排成的一列数叫作数列 项 数列中的 叫作这个数列的项，排在第1位的数叫作数列的 ，排在第n位的数叫作数列的______ 数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为___ 分类 项数 的数列称为有穷数列，项数 的数列称为无穷数列 顺序 每一个数 首项 第n项 {an} 有限 无限 (1){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}的第n项． (2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：数列的项是指出现在这个数列中某一个确定的数an，它是一个函数值，即an＝f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n. (3)数列与数集是两个不同的概念，它们的主要区别：数集中的元素具有无序性和互异性，数列中的项是有序的且可以相同，即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列．如数列2,4,6,8与数列8,6,4,2是不同的数列． 1．(多选)下列说法错误的是 (　 ) A．数列4,7,3,4的首项为4 B．数列的项可以相等 C．{1,2,3,4}是有穷数列 D．a，－3，－1,1，b,5,7能构成数列 答案：CD 2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为________． 答案：1,27,125 3．下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？请说明理由． (1)8,8,8,8；(2)－3，－1,1，x,5,7，y,11； (3)当n分别取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数． 提示：(1)能构成数列，且构成的数列是有穷数列． (2)当x，y均代表数时是数列，此时构成的数列是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数组成的． (3)能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，…. 如果数列{an}的第n项an可以用 表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 关于n的一个公式 1．数列{an}中，an＝2n2－3，n∈N＋，则125是这个数列的第几项 (　 ) A．4 B．8 C．7 D．12 答案：B [解析]　对于A，数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列，故A错误；对于C，因为元素中含有未知数x，故错误；易知B、D正确。 [答案]　BD 判断一组元素是否构成数列的依据有两点： ①各项是否为“数”；②各数能否按一定次序排成一列．　　 [对点训练] 1．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，….则该数列的第10项为 (　 ) A．34 B．55 C．68 D．89 解析：观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和，13＋21＝34,21＋34＝55，故该数列的第10项为55. 答案：B　 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可参考以下思路： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决，如三角函数等． (5)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．　 [对点训练] 1．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 (　 ) (1)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． (2)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条