3.1.1 椭圆的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3．1.1　椭圆的标准方程 (一)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的 ，两个焦点间的距离叫作椭圆的 ． 常数 焦点 焦距 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解 条件 结论 2a＞F1F2 动点的轨迹是椭圆 2a＝F1F2 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 3.定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 下列说法正确的是 (　 ) A．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C (二)椭圆的标准方程 1．椭圆标准方程中参数a，b的几何意义 标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状和大小，这是椭圆定形的条件，a，b，c三个量满足a2＝b2＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边长，我们把如图所示的直角三角形F2OM称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义． 2．椭圆的焦点位置 椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 3．与椭圆焦点三角形有关的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在焦点三角形MF1F2中，由余弦定理可得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cos∠F1MF2. 1．待定系数法求标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置； (2)设出方程； (3)寻求a，b，c的等量关系； (4)求a，b的值，代入所设方程． 2．易错提醒 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．　　 解决与椭圆焦点三角形有关问题的思路 画出图形，观察图形，充分利用椭圆的定义，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分析解决问题．　　 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知AB＝F1A＋F1B，所以在△F2AB中， F2A＋F2B＋AB＝4a＝20， 又F2A＋F2B＝12，所以AB＝8. 答案：8 [典例]　如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程． 与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法． 1．定义法 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法． 2．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(也称相关点法)．　　 内化素养 逻辑推理 根据椭圆定义及借助基本不等式“和为定值，积最大”，得出答案 直观想象 椭圆上的点与椭圆两焦点的距离和为2a(定值)，联想到基本不等式，实现“积”与“和”的灵活转换，使问题快速得到解决 内化素养 直观想象 结合图形，由P，Q在椭圆上关于原点对称，且PQ＝F1F2，得到四边形PF1QF2为矩形是本题求解的关键 数学运算 基本量的计算，注意整体代换思想的应用 注重实践应用 3.船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子的两端系 在桅杆的顶端，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根 桅杆所在的平面内，则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为______m．(结果保留两位小数) ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十三)” (单击进入电子文档) 45 　eq \a\vs4\al(,第3章,,圆锥曲线与方程) 明学习目标 知结构体系 课