3.3.1 抛物线的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

3．3.1　抛物线的标准方程 (一)抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫作抛物线， 叫作抛物线的焦点， 叫作抛物线的准线． 相等 定点F 定直线l 对抛物线定义的理解 1．抛物线的定义可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1)． 2．定义中的隐含条件：定点F不在准线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线． 过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 (　 ) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 解析：由题意知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. 答案：D　 (二)抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种不同的形式 四种标准方程对应的抛物线的比较 [典例]　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 求抛物线标准方程的方法 (1)直接法：直接利用题中已知条件确定参数p. (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．　　 [对点训练] 1．已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是 (　 ) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax [拓展]　 1．若将本例中的点(0,2)改为“点A(3,2)”，求PA＋PF的最小值． 1．抛物线定义的应用思路 通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，然后根据平面几何的相关知识求解． 2．与抛物线定义有关的最值问题的解题思路 由抛物线的定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，再利用平面几何的性质，确定最值点，即得最值．特别地，已知F为抛物线C的焦点，P为C上的点，A为定点，则有下列结论成立： 解析：由题意知，抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是PF＝d＋1，所以d＋PA＝PF－1＋PA的最小值为AF－1＝4－1＝3.故选C. 答案：C　 [典例]　一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m. (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标． (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2 m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标． [解]　(1)以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy， 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，代入点(0.5,2.4)， 得2.42＝2p·0.5，解得p＝5.76， 即抛物线的方程为y2＝11.52x，焦点为(2.88,0)． (2)设抛物线的方程为y2＝2mx(m＞0)， 代入点(0.5,2.6)，得2.62＝2m·0.5， 解得m＝6.76， 即抛物线的方程为y2＝13.52x，焦点为(3.38,0)． [方法技巧]　求解抛物线实际应用题的步骤 一、在典题训练中内化学科素养 本节通过对抛物线的定义及标准方程的学习，提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若FQ＝6，则C的准线方程为________． 2．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝ (　 ) A．2 B．3 C．6 D．9 内化素养 2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若AF＋BF＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________． 解：(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴， 线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系Oxy，则B (0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p