1.4 两条直线的交点（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1．4　两条直线的交点 1．两直线的交点 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的 ；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点． 公共解 2．方程组的解的组数与两直线的位置关系 3．过两条直线交点的直线系方程 若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中λ∈R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程． 1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为 (　 ) A．(3，－5) B．(－3,5) C．(3,5) D．(－3，－5) 2．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________． 解析：由题意得6a－12≠0，即a≠2. 答案：a≠2 [典例]　分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋3y－1＝0，l2：2x＋6y－2＝0； (3)l1：6x－2y＋3＝0，l2：3x－y＋2＝0. 两条直线相交的判定方法 利用两直线方程组成的方程组解的个数来判断两直线的位置关系：当方程组无解时，两直线平行；当方程组仅有一组解时，两直线相交；当方程组有无数组解时，两直线重合． 除此之外，还可以利用两直线的斜率来判断两直线是否相交：若两直线斜率都存在且斜率不相等，则两直线相交；若两直线一条斜率存在，另一条斜率不存在，则两直线相交．　　 [典例]　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 法二：由于直线l⊥l3，故直线l满足5x＋3y＋C＝0. 又直线l过直线l1，l2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0， 解得C＝－1， 故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 法三：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0， 整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0. 求过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关直线的方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0表示，根据题意求出λ，化简即可．　　 [对点训练] 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． [典例]　已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程．求证：不论k取何实数，直线l都过定点，并求出这个定点的坐标． 证明直线过定点的方法 要证明直线系中的直线过一定点，就是要证明它是一个共点的直线系．一般有两种方法． (1)特殊值法，利用“不论参数取何值方程都有解”，给参数赋予两个特殊值，得到直线系中的两条直线的方程，联立两方程解出的x，y的值即所求定点的坐标，再代入原方程验证即可． [对点训练] 当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐 标轴围成一个四边形，求使四边形面积最小时的a的值． 注重实践应用 3．某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0，若在河上建一座供水站P，使分别到A，B两村的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？ 强化拓广探索 4．已知直线m：y＝xcos α和n：3x＋y＝c，则 (　 ) A．m和n可能重合 B．m和n不可能垂直 C．直线m上存在一点P，使得n以P为中心旋转后与m重合 D．以上都不对 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(六)” (单击进入电子文档) 29 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 重点 难点 重点：两直线交点的应用． 难点：根据两直线的交点判断直线的位置关系. 零 相交 重合 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 个 个 个 直线l1与l2的位置关系 _____ _____ _____ 平行 一 无数 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\