3.3.1 空间向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．1　空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组{x，y，z}，使得p＝ . 其中{a，b，c}叫作空间的 ，其中a，b，c都叫作 ． xa＋yb＋zc 一组基 基向量 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一组基是一个向量组，一组基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 1．判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基． (　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基． (　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一组基，则a，b，c全不是零向量． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基的向量是 (　 ) A．a B．b C．c D．2a 答案：C 基的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一组基． (2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 [对点训练] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一组基的向量组有 (　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一组基；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一组基；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B. 答案：B　 [方法技巧]　用基表示向量的步骤 定基 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 [方法技巧] 基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时，选择一组恰当的基可以使解题过程简便易行，选择和使用向量应注意： (1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断； (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知向量； (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基．　　 [对点训练] 如图所示的平行六面体ABCD-­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1 ＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1 上一点，且A1N＝λA1D1. (1)若BD⊥AN，求λ的值； (2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，求λ的值． 内化素养 数学运算 空间向量的数量积、模、解方程等 逻辑推理 由空间几何体，利用三角形法则表示待求向量，进而运算 强化拓广探索 3. 化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规 律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构 化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基 本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以 形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________． “四翼”检测评价”见 “四翼”检测评价（二十三） (单击进入电子文档) 30 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.会应用平面向量基本定理推出空间向量基本定理． 2.了解空间向量基本定理及其意义． 重点难点 重点：空间向量基本定理及其应用． 难点：空间向量基本定理的理解. (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0eq \a\vs4\al(＝)λ1a1＋λ2a2＋λ3a3. (