第3章 3.1 空间向量基本定理（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过回顾平面向量基本定理类比导入，引导学生从平面到空间认知过渡，搭建新旧知识支架，系统讲解定理内容、基向量概念及应用。 其亮点在于以问题驱动探究，结合例题与跟踪训练培养数学思维，通过四点共面充要条件证明强化推理能力，课堂小结梳理知识清单与方法，帮助学生建立空间观念，教师可借助分层练习提升教学效率。

3.1 空间向量基本定理 第三章　§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 <<< 1.理解空间向量基本定理及其意义. 2.会用基向量表示空间向量. 学习目标 回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一组基.类似地，任意一个空间向量p能否用空间三个不共面的向量a，b，c表示呢？ 导 语 一、空间向量基本定理 二、用基表示空间向量 课时对点练 三、空间向量基本定理的综合应用 随堂演练 内容索引 空间向量基本定理 一 提示　如图， 过空间任意一点O，作＝a，＝b，＝c. 因为向量a，b，c不共面， 所以O，A，B，C四点不共面.作＝p. 当点P不在直线OC上时，过点P作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则∥， 如图，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间中任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p？ 问题1 故存在实数z，使得＝z＝zc. 在平面AOB内，由平面向量基本定理可知，存在唯一的 有序实数对(x，y)，使得＝x＋y＝xa＋yb. 从而，存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)， 使得p＝＝xa＋yb＋zc. 当点P在直线OC上时，p∥c，故存在唯一的实数z，使得p＝zc，从而，也存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)＝(0，0，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 1.空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在　　　的三元有序实数组(x，y，z)，使得 　 　　 . 2.我们把{a，b，c}叫作空间向量的一组　 ，其中a，b，c都叫作基向量. 唯一 p＝xa＋yb＋zc 基 知识梳理 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由这组基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式有可能不同. (2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量. (3)三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 注 意 点 <<< 9 　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基. 例 1 10 假设共面. 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面，∴ 此方程组无解，∴不共面， ∴{}可以作为空间向量的一组基. 解 11 基的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间向量的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一组基. (2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 反 思 感 悟 12 　已知{a，b，c}是空间向量的一组基，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成另一组基的向量是 A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c 跟踪训练 1 √ 13 ∵能与p，q构成一组基，则与p，q不共面. ∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q， ∴A，B，C都不合题意. ∵{a，b，c}为一组基， ∴a＋2c与p，q不共面，可构成一组基. 解析 14 二 用基表示空间向量 　如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用a，b，c表示向量，. 例 2 16 ) ＝ ＝)＋ ＝(a＋b＋c). 连接A'N(图略). ) ＝)＝a＋b＋c. 解 17 若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 延伸探究 因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以)＝a＋b. )＝) ＝ ＝)＋ ＝b＋a－c. 解 18 用基表示空间向量的步骤 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 反 思 感 悟 19 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为PC，PD上的点，且PM＝2MC，N为PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值. 跟踪训练 2 20 方法一　如图所示，取PC的中点E，连接NE，则. 因为 ＝＝－， ， 连接AC，则， 所以＝－) ＝－. 因为不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 解 21 方法二　 ＝)－) ＝－(－) ＝－. 因为不共面， 所以x＝－，y＝－，z＝. 解 22 空间向量基本定理的综合应用 三 提示　x＋y＋z＝1. 证明如下：(1)充分性 ∵＝x＋y＋z 可变形为＝(1－y－z)＋y＋z， ∴＝y()＋z()， ∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面. 对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 问题2 (2)必要性 ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， 即＝m()＋n()， ∴＝(1－m－n)＋m＋n， ∵＝x＋y＋z， 点O在平面ABC外， ∴，，不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. (1)(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是 A. B. C. D.＝2 √ 例 3 √ 26 方法一　A选项，＝x＋y的形式，故A不正确； B选项，∵，∴3，∴ ＝()＋()，∴，∴＝－， ∴P，A，B，C四点共面.故B正确； C选项， ＝)＋) ＝. 解析 27 ∴， ∴， 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确； D选项，＝2＝x＋y的形式，故D不正确. 方法二　点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. 解析 28 (2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面. 29 设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2，∴(b＋c)， ∴(b＋c)－a ＝(b－a)＋， ∴为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 证明 30 解决向量共面问题的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示. 反 思 感 悟 31 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量，，是否共面. 跟踪训练 3 设AC的中点为G，连接EG，FG，如图， ∴， ∴)， ∴向量共面. 解 32 1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)用基向量表示空间向量. (3)四点共面的充要条件. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件. (2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当一组基，否则不能当，当{a，b，c}为一组基时，一定有a，b，c为非零向量. 因此p是q的必要不充分条件. 解析 1 2 3 4 2.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则与a，b不能构成空间向量的一组基的是 A. B. C. D.或 √ ∵(a－b)，∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间向量的一组基. 解析 1 2 3 4 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为 A.a－b＋2c B.a－b－2c C.－a＋b＋c D.a－b＋c ＝)＝a－b＋c. 解析 √ 1 2 3 4 4.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是 A.＝3 B. C.＝0 D.＝0 √ √ A选项中，3－1－1＝1，四点共面， C选项中，＝－， 则点M，A，B，C共面. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D D D B B － + 题号 8 11 12 13 14 15 答案 A BD ++　 －1 AC 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1+ ＝+＝a－b+c. ++ ＝－a+b+c. +＝a+b+c) ＝a+b+c. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)++++＝++.如图，连接DA1，则即为所求. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意， 知3++， ∴＝， 即+＝－， 故共面. (2)由(1)，知共面且过同一点M. 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{}为空间向量的一组基， 则+ ＝+× ＝+×+ ＝++ ＝++. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得＝λ+μ， 即＝λ， ∴＝(1－λ－μ+λ+μ＝(1－λ－μ)m+λn+μt， 由空间向量基本定理， 知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， ∴++＝4(1－λ－μ)+4λ+4μ＝4，即++为定值，定值为4. 基础巩固 1.若{a，b，c}是空间向量的一组基，则下列各组中不能构成空间向量的一组基的是 A.{a，2b，3c} B.{a＋b，b＋c，c＋a} C.{a＋b＋c，b＋c，c} D.{a＋2b，2b＋3c，3a－9c} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为{a，b，c}是空间向量的一组基，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间向量的一组基； 对于D，{a＋2b，2b＋3c，3a－9c}满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]， 所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间向量的一组基. 解析 2.已知空间向量的一组基{a，b，c}，若m＝a－b＋c与n＝xa＋yb＋c共线，则x＋y的值为 A.2 B.－2 C.1 D.0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于m与n共线，设n＝λm，即xa＋yb＋c＝λ(a－b＋c)， 所以x＝λ，y＝－λ，1＝λ，所以x＝1，y＝－1，所以x＋y＝0. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示为 A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b＋c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 )＝)＝a＋b＋c. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.给出下列命题，其中是假命题的是 A.若{a，b，c}可以作为空间向量的一组基，d与c共线，d≠0，则{a，b， 　d}也可以作为空间向量的一组基 B.已知向量a∥b，则a，b与任一向量都不能构成空间向量的一组基 C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若{，，}不能构成空间 　向量的一组基，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a， 　b，c}能构成空间向量的一组基 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共 线，c≠0，d≠0，∴存在非零实数k，使得d＝kc，从而c＝a＋b，∴c 与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即{a，b，d}可以作为空间向量的一组基，故A是真命题； B中，a∥b，则a，b与任一向量共面，根据基的概念，知空间中任何三个共面的向量都不可以作为空间向量的一组基，显然B是真命题； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C中，由有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，故C是真命题； D中，∵a，b，c共面，∴{a，b，c}不能构成空间向量的一组基，故D是假命题. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6＋2＋3，则 A.四点O，A，B，C必共面 B.四点P，A，B，C必共面 C.四点O，P，B，C必共面 D.五点O，P，A，B，C必共面 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由6＋2＋3， 得＝2()＋3()， 即＝2＋3.所以P，A，B，C四点共面. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足，，，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＝x＋y＋z＝x＋y，O在平面B1GF内， 所以x＋y＋＝1， 同理可得＋z＝1， 解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED， 以{，，}为空间的一组基，则＝　　　　　　　　　　　. － 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点M， 连接AE(图略)，则 ＝ ＝)－×) ＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且＋m，则实数m＝　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　＋m－m＋m)＋m()＋＋m ＝＋m， 即＋m， 可得m－＝0，故m＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点， 所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1， 利用此结论可得＋m＝1，解得m＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点. (1)用a，b，c表示向量，，； ＝a－b＋c. ＝－a＋b＋c. ＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)化简，并在图中标出化简结果所对应的向量. ＋()＝. 如图，连接DA1，则即为所求. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 . (1)判断，，三个向量是否共面； 由题意，知3， ∴＝()＋()， 即＝－， 故共面. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断点M是否在平面ABC内. 由(1)，知共面且过同一点M. 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间向量的一组基. ∵四边形BCC1B1是平行四边形， ∴)＝)＝b－a＋c， ∴＝a＋b－a＋c ＝a＋b＋c， ∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2， ∴a2＝b2＝4，c2＝9，a·b＝0，a·c＝b·c＝3×2×cos 60°＝3， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝. ∴||＝， 即AO＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是 A.a－b＋c B.＝a＋b＋c C.||＝ D.cos〈，〉＝ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 )＝b－a＋c，A错误； ＝a＋b＋c，B正确； ＝a＋b＋c， 则||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6， 则||＝，C错误； ·＝a·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c＝2，则cos〈〉＝，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，用，，表示，则＝　　　　　　　 ，点B与 点D之间的距离为　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在矩形ABCD中， AB＝1，BC＝， 则可得AM＝，BM＝， CN＝，ND＝，MN＝1. 因为平面ABC与平面ACD垂直， BM⊥AC， 平面ABC∩平面ACD＝AC， BM⊂平面ABC， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则BM⊥平面ACD， 所以BM⊥ND， 由题可得， 所以||2＝()2 ＝||2＋||2＋||2＋2(···) ＝＋12＋＋2×(0＋0＋0)＝， 所以||＝. 解析 14.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设＝a，＝b，＝c， 则{a，b，c}构成空间的一组基. 设AB＝1， 因为BD⊥AN， 所以·＝0， 因为＝b－a， ＝c＋λb， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以(b－a)·(c＋λb)＝0， 所以＋λ－＝0， 所以λ＝－1. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)若三棱锥M－ABC的体积是三棱锥P－ABC体积的，且＝λ－2＋3，则λ的值可能为 A. B. C.－ D.－ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为三棱锥M－ABC的体积是三棱锥P－ABC体积的，所以在平面ABC内存在一点Q，使得， 如图①②所示，当＝λ－2＋3λ－3，因为点Q在平面ABC内， 所以根据空间向量基本定理可得λ－3＋＝1，解得λ＝－ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝λ－2＋ 3λ， 因为点Q在平面ABC内，所以根据空间 向量基本定理可得λ－＝1，解得λ＝. 解析 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且|PM|＝3|MG|，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：为定值，并求出该定值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). 由题意，可令{}为空间向量的一组基， 则) ＝× ＝×)＝)＋)＝. ∵点D，E，F，M共面， 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即＝λ()＋μ()， ∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理， 知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， ∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，即为定值，定值为4. 证明 第三章　§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 <<< $