2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题． 3.会解决中点弦问题． 重点 难点 重点：弦长问题． 难点：弦长与三角形面积的最值问题. 内化素养 答案：A　 答案：A　 答案：D　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十九） (单击进入电子文档) 35 ———————————————————————————— 弦长问题 ———————————————————————————————— [典例]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，第四象限的一点P(2，m)在C上，且|PF|＝4. (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为(1,1)，求直线l的方程及线段AB的长． [解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由抛物线定义得，|PF|＝2－＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x. 将P(2，m)代入C的方程得，m2＝8×2，解得m＝±4，因为点P在第四象限，所以m＝－4. (2)由题意易知直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得y－y＝8(x1－x2)，则k＝＝， 因为线段AB中点的坐标为(1,1)，所以y1＋y2＝2，所以k＝4，所以直线l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，联立得16x2－32x＋9＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝·＝×＝. [方法技巧] 求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式． 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝ ， 或|AB|＝ ＝ ＝ . 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．　　 [对点训练] 已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求k的值． 解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得(1＋2k2)x2＋4kx＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝0，由|MN|＝，得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝， 即(1＋k2)2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1. ————————————————————————————— 中点弦问题 ————————————————————————————————— [典例]　已知椭圆C的中心在原点，F(3,0)是它的一个焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，且AB的中点为N(2，－1)，则C的方程是________． [解析]　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，kl＝kNF＝1， 由＋＝1，＋＝1相减得＋＝0，即＋·kl＝0， ∴＋＝0⇒a＝b， 又c＝3，∴a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆C的方程为＋＝1. [答案]　＋＝1 [方法技巧] 处理中点弦问题常用的2种方法 (1)点差法 设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系 联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．　　 [对点训练] 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分． (1)求抛物线E的标准方程； (2)求直线AB的方程． 解：(1)由E的焦点为(1,0)，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由M(2,1)为线段AB的中点可知直线AB斜率存在且不为零，设直线AB斜率为k. 由A，B为抛物线上不同两点得 ①－②得k＝＝2， ∴直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0. ———————————————————————————— 面积问题 ———————————————————————————————— [典例]　若椭圆E：＋＝1(a>b>