2.3.2 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．2　抛物线的简单几何性质 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解抛物线的简单几何性质． 2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题． 重点难点 难点：抛物线的几何性质的应用. 重点：抛物线的几何性质． 抛物线的简单几何性质 O(0,0) y＝0 x＝0 e＝1 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 续表 答案：D　 答案：A　 内化素养 逻辑推理 由抛物线方程推出其焦点坐标及l1，l2的斜率存在等 数学运算 方程的求解，代数式的恒等变形，均值不等式的应用等 答案：B　 答案：B　 答案：BCD　 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十七） (单击进入电子文档) 36 图形 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 性质 顶点 _______ 对称轴 _____ _____ 焦点 F __________ F __________ 离心率 ______ 范围 ____________ ____________ ____________ ____________ 开口方向 _____ _____ _____ _____ F F 1．通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0,0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称． 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： (1)抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； (2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； (3)焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； (4)离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是0＜e＜1，双曲线的离心率取值范围是e＞1，抛物线的离心率是e＝1； (5)椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物线只有1条准线； (6)椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式． 1．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，则抛物线的焦点坐标为 (　 ) A．(－1,0) B．(0，－1) C．(1,0) D．(0,1) 解析：∵抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(－1，－1)，∴－＝－1，即p＝2，∴抛物线的焦点坐标为(0,1)． 2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. 解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，所以－＝－，故p＝2. 答案：2 [解]　∵抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上， ∴直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点即抛物线的焦点．令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，－2)． ————————————————————————————— 由抛物线的几何性质求其标准方程 ————————————————————————————————— [典例]　求与抛物线y2＝－16x共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程． 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，＝2，∴p＝4，此时抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y. 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．　　 [对点训练] (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F.因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故解得 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. (2)由题意，可设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，，所以|AB|＝2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|＝4，所以a＝±2.故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. ————————————