1.2.4 二面角（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.4　二面角 (一)二面角及其度量 1．二面角及其平面角 半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分， 称为一个半平面 二面角 从 所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱， 称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B 平面角 在二面角α-l-β的棱上 O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作____于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 其中的每一部分 一条直线出发的两个半平面 这两个半平面 任取一点 垂直 2.二面角的度量 二面角的大小用它的 大小来度量，即二面角大小等于它的平面角_____．特别地，平面角是直角的二面角称为 ． 平面角 大小 直二面角 本书中，我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 1．(多选)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系可能是 (　 ) A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定 解析：由二面角的概念知，这两个二面角大小相等或互补． 答案：AB　 (二)用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝ 或θ＝ ，特别地，sin θ＝ ． 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 sin〈n1，n2〉 1．(多选)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小可能为 (　 ) A．45° B．135° C．180° D．90° 答案：AB 2．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________． 用定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角. 　　 [对点训练] 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD. (1)证明：AB⊥平面VAD； (2)求平面VAD与平面VDB夹角的正切值． [解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． [拓展] 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值． 2．利用法向量求二面角的大小的一般步骤 [解]　(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面ABE， 又AE⊂平面ABE，所以BC⊥AE. 因为AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以AE⊥平面BCE， 因为BF⊂平面BCE，所以AE⊥BF. 在△BCE中，因为BE＝BC，F为CE的中点， 所以BF⊥CE，又AE∩CE＝E，AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，所以BF⊥平面ACE， 又BF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面ACE. (1)与空间角有关的综合问题常与翻折、存在性问题相结合，近年来常考题型还包括线面角与面面角的综合题，解决此类问题的关键是准确建系，求法向量． (2)存在性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．　　 一、在典题训练中内化学科素养 二面角是高考必考的内容，有时单独考查，有时和线面