1.2.3 直线与平面的夹角（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2.3　直线与平面的夹角 (一)直线与平面的夹角 1．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°； (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°； (3)平面的斜线与它在平面内的 所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角； (4)直线与平面所成角的范围是 ． 射影 [0°，90°] 2．最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式： 如图，OB是OA在平面α内的射影，OM⊂α，θ是OA与OM所 成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则cos θ ＝ . (2)最小角定理： 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． cos θ1cos θ2 1．判断正误 (1) 直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　 ) (2)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． (　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为________． 1．判断正误 (1)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角． (　 ) (2)当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时，这条直线不一定在平面内．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 (　 ) A．120°　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 [解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. (2)取PC的中点E，连接AE，DE，如图． 因为D为PB的中点，所以DE∥BC， 所以DE⊥平面PAC，所以AE是AD在平面PAC内 的射影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角． [拓展] 若本例(2)条件不变，求AD与平面PBC夹角的正弦值，结果如何？ 用定义法(几何法)求直线和平面所成的角的步骤 (1)作：即作(或找)出直线和平面所成的角； (2)证：即证明所作的角为直线与平面所成的角； (3)算：即解三角形求出直线与平面所成的角．　　 [对点训练] 等腰Rt△ACB的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，求斜边上 的中线CM与平面α所成的角． 斜线与平面所成角的性质的应用策略 (1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦； (2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果．　　 [对点训练] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥ 平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成角． 一、在典题训练中内化学科素养 直线与平面所成的角是高考考查的重点．解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，并正确进行向量的坐标运算，凸显了空间向量在立体几何中的应用．解题过程中体现了对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查． (2020·新高考全国卷Ⅰ)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方 形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 解：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC. 因为PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. 因为平面PAD∩平面PBC＝l，AD⊂平面PAD， 所以l∥AD. 所以l⊥平面PDC. 内化素养 直观想象 空间直线与平面的位置关系 逻辑推理 位置关系的判定，点的坐标的确定 数学运算 向量的坐标运算．建立空间直角坐标系后由于不能正确地确定相关点的坐标，成为向量运算的障碍 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(八)” (单击进入电子文档) 40 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解斜线和平面所成的角的定义． 2.会求直线与平面的夹角． 重点难点 重点：会求直线与平面的夹角，掌握两种方法(定义法，空间向量法) 难点：理解最小角定理并会应用. 设向量eq \o(AB,\s\up17(―→))在平面α内的射影为