1.2.2 空间中的平面与空间向量（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.2　空间中的平面与空间向量 (一)平面的法向量 1．平面法向量的定义 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个 ，且表示n的有向线段所在的直线与平面α ，则称n为平面α的一个法向量．此时，也称n与平面α垂直，记作 . 非零向量 垂直 n⊥α 2．平面法向量的性质 (1)如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个 都是平面α的一个法向量． (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都 ． 方向向量 平行 3．线、面平行或垂直的向量表示 (1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔ ；n⊥v⇔ . (2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔ ；n1∥n2⇔ ． l⊥α l∥α或l⊂α α1⊥α2 α1∥α2或α1与α2重合 (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行． (　 ) 答案：(1)√　(2)√ 3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为(　 ) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) (二)三垂线定理及其逆定理 1．射影 (1)已知空间中的平面α以及点A，过A作α的 l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的 (也称为 )； (2)图形F上 在平面α内的 所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的 ． 2．三垂线定理 如果平面内的 与平面的一条斜线在该平面内的 ，则它也和这条斜线垂直． 3．三垂线定理的逆定理 如果平面内的 和这个平面的 ，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 垂线 射影 投影 所有点 射影 射影 一条直线 射影垂直 一条直线 一条斜线垂直 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D与BD1的位置关系为 (　 ) A．相交　　　　 B．平行 C．垂直 D．无法判断 解析：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AB⊥平面ADD1A1， 故BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1.又因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，因此根据三垂线定理可得A1D⊥BD1. 答案：C　 2．已知菱形ABCD的对角线相交于点O，平面ABCD外有一点P，且PO⊥平面ABCD，则直线PA与BD所成的角等于________． 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为PO⊥平面ABCD，则OA为PA在平面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理可得，BD⊥PA，故PA与BD所成的角等于90°. 答案：90° [方法技巧]　求平面法向量的一般步骤 [对点训练] 已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平 面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，在如图所示的空间直角坐 标系Axyz中，分别求平面SAB和平面SCD的一个法向量． [拓展] 在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．求证：EN⊥平面B1AC. 利用向量法证明线、面垂直的策略 (1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直． (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0. [提醒]　解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示. 　　 [对点训练] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°， AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)求证：MN⊥平面A1B1C. (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明． (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．　　 ∴∠A