1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 (一)空间中的点、直线与空间向量 (1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线． 1．判断正误 (1)空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． (　 ) (2) 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反． (　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．若A(1,2，－1)，B(1，－1,3)是空间直线l上的两点，下列向量可以作为直线l的方向向量的是 (　 ) A．v＝(0,1,4) B．v＝(0，－3，－4) C．v＝(0，－3,4) D．v＝(2,1，－4) 答案：C 3．若v1＝(1,1,0)，v2＝(－3，－3,0)分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，则直线l1与l2的位置关系是________． 解析：因为－3v1＝v2，所以两向量共线，因此l1∥l2. 答案：l1∥l2 (二)空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则有： (1)θ＝ 或θ＝ ； (2)sin θ＝ ，cos θ＝ ； 〈v1，v2〉 π－〈v1，v2〉 sin〈v1，v2〉 |cos〈v1，v2〉| 1．判断正误 (1)空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小． (　 ) (2)两条直线的方向向量的夹角等于两条直线的夹角． (　 ) 答案：(1)√　(2)× 3．已知v1＝(1,1,0)，v2＝(0，－1,1)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则两直线所成角的正弦值等于________． (三)异面直线与空间向量 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． ①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能 的； ②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能 ，也可能 ． (2)两异面直线的公垂线段 如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2， ，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的 ．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 平行 异面 相交 MN⊥l1 公垂线段 2.如图，底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，连接BD，则异面直线PD与BC的公垂线段是 (　 ) A．BD B．PB C．DC D．不存在 解析：由底面ABCD为矩形，可得DC⊥BC，又因为PD⊥底面ABCD.所以PD⊥DC，故DC为异面直线PD与BC的公垂线段． 答案：C　 空间中点的位置确定的策略 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得出关于要求点坐标的方程或方程组求解即可. 　　 (1)判断两条直线平行可转化为判断两直线的方向向量平行． (2)判断两条直线垂直可转化为判断两直线的方向向量的数量积等于0. [提醒]　利用直线的方向向量证明直线与直线平行时，要注意所证两直线无公共点．　　 [对点训练] 1．设v1，v2分别是空间中两条不重合的直线l1，l2的方向向量，分别根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系． (1)v1＝(4,0,6)，v2＝(－2,0，－3)； (2)v1＝(1，－2,7)，v2＝(－6，－3,0)． 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证： (1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1. 利用向量法求空间中两条直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角或直角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角． [对点训练] 如图所示，已知正四棱锥P-ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．　 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(六)” (单击进入电子文档) 42 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解空间中的点、直线与空间向量． 2.掌握空间中两条直线所成的角并能求解． 3.能够利用空间向量研究异面直线． 重点难点 重点