1.1.3 第 1 课时 空间向量的坐标及运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第 1 课时　空间向量的坐标及运算 (一)空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是 ，而且这三个向量 ，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的 ，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝ ，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 单位向量 两两垂直 单位正交分解 (x，y，z) (1)单位正交基底是两两互相垂直且长度为1的向量，即e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1，e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0. (2)只有在单位正交基底下的分解才是空间向量的坐标，其他基底下的分解不是向量的坐标．空间中任一向量的坐标是唯一的． 1．判断正误 (1)已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基底． (　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．若{e1，e2，e3}是单位正交基底，已知p＝e1＋2e2－e3，则向量p的坐标为_______． 答案：(1,2，－1) 3．若向量p在{e1，e2，e3}单位正交基底下的坐标是(1,2,3)，则向量p在基底{e1，e2，e3}下的分解式为________． 答案：p＝e1＋2e2＋3e3 (二)空间向量的运算与坐标的关系 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＝b的充要条件是______________________. (2)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 ①a＋b＝ ； ②λa＝ ； ③a·b＝ ； x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (λx1，λy1，λz1)(λ∈R) x1x2＋y1y2＋z1z2 1．判断正误 (1)已知a＝(0，－1,2)，b＝(1，－1,0)，则a－b＝(－1，－2,2)． (　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，则a·b＝________. 解析：a·b＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. 答案：－7 (三)空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a∥b⇔b＝λa⇔ ， ， (a≠0，λ∈R)； (2)a⊥b⇔ . x2＝λx1 y2＝λy1 z2＝λz1 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 1．判断正误 (1)若a·b＝0，则a一定与b垂直． (　 ) (2)已知a＝(1,2,3)，b＝(－1，x ，y)，若a∥b，则x＋y＝－5. (　 ) 答案：(1)×　(2)√ 3．如果a＝(1，－1,3)与b＝(a－1，－2，b＋4)共线，那么a－b＝________. 坐标表示空间向量的步骤 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． (2)确定出空间向量p在单位正交基底下的分解式，则向量p的坐标分量即为向量p的坐标．　　 [对点训练] 1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　 ) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2) 解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k， 故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)． 答案：A　 2．设{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________． 答案：(3,2，－1)，(－2,4,2) [典例]　已知向量p＝(2,1,3)，q＝(2,0，－6)，求下列向量的坐标． (1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)． [解]　因为p＝(2,1,3)，q＝(2,0，－6)，所以 (1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3