1.1.2 空间向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．1.2　空间向量基本定理 (一)共面向量定理 1．共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a，则存在 的实数λ，使得b＝ . 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝ . 3．四点共面 唯一 λa xa＋yb 1．判断正误 (1)若两个非零向量a，b共线，则a与b的方向相同或相反． (　 ) (2)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． (　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．当向量a，b不共线时，a＋2b与2a－b的关系是 (　 ) A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 答案：A (二)空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ . 2．基向量 空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，称为空间向量的一组 ，a，b，c都称为 ．如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在 下的分解式． 不共面 xa＋yb＋zc 基底 基向量 基底{a，b，c} 1．判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． (　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一组基底． (　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c全不是零向量． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量是 (　 ) A．a B．b C．c D．2a 答案：C (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使b＝λa成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出b＝λa，从而得到a∥b. (2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．　 [方法技巧]　用基底表示向量的步骤 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 [典例]　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EFG∥平面ABD. 基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行，选择和使用向量应注意： (1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断； (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知向量； (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底．　　 [对点训练] 如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1. (1)若BD⊥AN，求λ的值； (2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，求λ的值． 内化素养 数学运算 空间向量的数量积、模、解方程等 逻辑推理 利用三角形法则表示待求向量，进而运算 强化拓广探索 3.化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(三)” (单击进入电子文档) 38 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解共面