1.1.1 第 2 课时 空间向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

第 2 课时　空间向量的数量积 对两个空间向量夹角的理解 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故<a，b>＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (3)①<a，b>＝<b，a>＝<－a，－b>＝<－b，－a>； ②<a，－b>＝<－a，b>＝π－<a，b>； (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝ (交换律) (a＋b)·c＝ (分配律) b·a a·c＋b·c 续表 2．空间向量数量积的性质 1.空间向量的数量积的运算方法 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解．　　 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．　　 [对点训练] 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. 1．利用向量求异面直线夹角的步骤 取向量 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 角转化 异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦值 利用数量积求余弦值的大小 定结果 异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二)” (单击进入电子文档) 34 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算． 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质． 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. 垂直 a⊥b (一)空间两个向量的夹角 1．夹角的定义 如图，给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b，则大小在[0，π]内的 称为a与b的夹角，记作〈a，b〉． 2．两向量垂直 如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称向量a与b ，记作 .规定零向量与任意向量都垂直． ∠AOB ③<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(AC,\s\up17(―→))>＝<eq \o(BA,\s\up17(―→))，eq \o(CA,\s\up17(―→))>＝π－<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(CA,\s\up17(―→))>． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是 (　 ) A．<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(A1C1,\s\up17(―→))>　 B．<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(C1A1,\s\up17(―→))> C．<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(A1D1,\s\up17(―→))>　 D．<eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(B1A1,\s\up17(―→))> 答案：B 0 始点 终点 定义 已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝ ．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝ 投影 一般的，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的 和 分别作直线l(或平面α)的 ，假设垂足为A，B，则________称为a在直线l(或平面α)上的投影 垂线 向量eq \o(AB,\s\up17(―→)) |a||b|cos<a，b> |a||b|cos<a，b> eq \r(a2) eq \f(a·b,|a||b|) 序号 空间向量数量积的性质 (1) a·e＝|a|cos<a，e> (其中e为单位向量) (2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝__ (3) a·a＝|a|