04含参数的极值点偏移问题

04含参数的极值点偏移问题 专题04 含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1.已知函数有两个不同的零点，求证：. 【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三(不含参数的极值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用； 思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数. 解答如下： 因为函数有两个零点， 所以， 由（1）+（2）得：， 要证明，只要证明， 由（1）-（2）得：，即， 即证：， 不妨设，记，则， 因此只要证明：， 再次换元令，即证 构造新函数， 求导，得在上递增， 所以，因此原不等式获证. ★例2.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：. 【解析】法一：消参转化成无参数问题： ， 是方程的两根，也是方程的两根， 则是方程的两根， 设，，则， 从而，此问题等价转化成为专题三例题，下略. 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设， ∵，∴， ∴，欲证明，即证. ∵，∴即证， ∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 设， 则， 反解出：， 故，转化成法二，下同，略. ★例3.已知是函数的两个零点，且. （1）求证：； （2）求证：. 【解析】（1）问题可以转化为：与有两个交点，由圆知， 且即，∴， 故要证：，即证：，也即证：， 也即，令，则 设，则， ∴在单调递增，即. ∴在单调递增，即，故原不等式得证. （2）要证：，即证：，等价于， 也即，等价于，令 等价于，也等价于，等价于即证： 令，则， 又令，得，∴在单调递减， ，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式. ★例4.已知函数，若存在，使，求证：. 【解析】函数的零点等价于方程的实根，令， 求导可知，在上单调递增，在上单调递减，. (ⅰ)下证：当时，方程有两个实根. ①当时，是减函数，∵ ∴当为增函数，， ∴当时，有一解，记为. ②当时，为减函数，， 先证