02 极值点偏移问题判定定理

02 极值点偏移问题判定定理 专题02 极值点偏移问题判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏）左慢右快（极值点右偏） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2.抽化模型 答题模板：若已知函数满足，为函数的极值点，求证：. （1）讨论函数的单调性并求出的极值点； 假设此处在上单调递减，在上单调递增. （2）构造； 注：此处根据题意需要还可以构造成的形式. （3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系； 假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，. （4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论； 接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证. （5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故. 【说明】 （1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒 1．已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，且，证明：. 2．函数与直线交于、两点.证明：. 3．已知函数，若，且，证明：. 4．已知函数有两个零点.设，是的两个零点，证明：. 四、招式演练 5．已知函数有两个零点，. （1