极化恒等式从入门到精通

极化恒等式从入门到精通 极化恒等式从入门到精通 一、初识极化恒等式 我们知道，对于任意，恒有，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论： ，① ，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义． 几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． 几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用． 【类型一】两向量共同的起点为动点 在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 解：取的中点O， 则． 如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为． 【类型二】两向量终点均为动点 已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________． 解：取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，则： ． 当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．由外接圆半径为1，可求得，从而．所以的最小值是，故所求最小值为． 【类型三】两向量的起点和终点均为动点 如图，已知是边长为的正三角形，为的外接圆O的一条直径，M为的边上的动点，则的最大值为________． 解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O是的中点，所以： ． 当M为正三角形三边的中点时，最小值均为1，故的最大值为3． 二、经典例题 例1 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值． 解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故． 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离． 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值． 例2 已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，求证：（是