专题4：恒成立与存在性问题

专题4：恒成立与存在性问题 专题4：恒成立与存在性问题 专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝. 考法一： 不等式恒成立问题 [规律方法] 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法 ，其中 只需要，令 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值） ，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） 在单调递减，在单调递减 【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号. 例2．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 作出图象，如图所示，设，则，，. 令，则，所以， 所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，， 所以，所以由函数图象可知，所以. 例3．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【解析】（1） 令，则 当时，令，解得： 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减 又，， 即当时，，此时无零点，即无零点 ，使得 又在上单调递减 为，即在上的唯一零点 综上所述：在区间存在唯一零点 （2）若时，，即恒成立 令 则， 由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减 且，， ， ①当时，，即在上恒成立 在上单调递增 ，即，此时恒成立 ②当时，，， ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，即恒成立 ③当时，， ，使得 在上单调递减，在上单调递增 时，，可知不恒成立 ④当时， 在上单调