专题3：函数的零点问题

专题3：函数的零点问题 专题3：函数的零点问题 专题阐述：考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型： （1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题； （2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题. 考法一： 由函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围 [规律方法]已知函数零点个数（方程的根）求参数值（或范围）常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例1．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵的定义域为，， ∴函数至少存在一个零点可化为函数至少有一个零点； 即方程有解，则， ； 故当时，，当时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 故； 又∵当时，， 故；故选：A． 例2．已知函数的定义域为R，且对任意都满足，当时，．（其中e为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数则函数的图象关于x＝1对称， 如图所示： 由于和函数的图象只有两个交点， 设，图象上的切点，所以，则， 所以曲线的切线方程为，把代入可得， 则，结合图象，要使图象有两个交点，则或．故选：A． 例3．定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵函数，∴， ∵函数是区间上的双中值函数， ∴区间上存在，， 满足，即方程在区间有两个解， 令，对称轴， 则，解得． ∴实数t的取值范围是．故