专题2：三次函数图象与性质

专题2：三次函数图象与性质 专题2：三次函数图象与性质 专题阐述： 三次函数经常被用来考查学生对导数应用的掌握程度及基本技巧掌握的工具函数，它具有简约化及直观化的特点，是研究其它复杂函数性质的门槛，对构造复杂函数及性质的应用有着不可小觑的作用，研究三次函数的图象与性质一般从函数的单调性、极值（最值）、零点等这几个方面考虑. 考法一： 三次函数的单调性问题 [规律方法] 研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究，其中应特别注意含参的讨论.通常考法为含参函数在指定区间（或定义域）内单调或不单调，求参数范围. 例1．已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到， 因为函数在上是单调函数， 所以在恒成立， 则， 所以实数a的取值范围是：． 故选：B． 例2．已知函数（m＞0）的单调递减区间为，若，则m的最大值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】由，可得，（m＞0） 令，解得，即函数（m＞0）的单调递减区间为， ∴， ∴，即m的最大值为6. 故选：D 【点睛】本题在解析式中含参，指定区间也含参，解决的途径为用参数m表达函数的单调递减区间，可得区间长度表示，结合已知，解得m的取值范围. 【针对训练】 1．如果函数在区间内为减函数，在上为增函数，则实数的取值范围是． A． B． C． D．或 2．已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考法二：三次函数的极值（最值） [规律方法] ①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；②通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化. 例3．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数，∴， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点 由可得 ∵，∴， 当a＝2时，函数的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2． 故选：C． 例4． (多选题)已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】AB 【解析】，令，解得或. ①当时，可知在上单调递增，所以在区间的最小值为