专题1：公切线问题

专题1：公切线问题 专题1：公切线问题 专题阐述：两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法一：求公切线方程 [规律方法]已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程；具体做法为：设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 例1．已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l，则 ；直线l的方程为 . 【答案】，的方程：. 【解析】依题意得： ，.， ，的方程：. 【点睛】本题设问中已表明原点为切点，故可由导数几何意义得出切线斜率，借由公切线斜率一致，解得参数b，进而求得公切线方程. 例2．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【答案】1或 【解析】设与和，分别切于点，， 由导数的几何意义可得：，即，① 则切线方程为，即， 或，即，② 将①代入②得， 又直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则，即，则或， 即或，故答案为1或． 【点睛】本题所涉公切线问题未提及切点坐标，故应设入切点坐标，分别表示切线方程，借助公切线概念建立等量关系，求出切点坐标，进而求解参数值. 【针对训练】 1．设三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则______． 2．已知函数的图象在点处的切线为直线，若直线与函数，的图象相切，则必满足条件______ 考法二：由公切线求参数的值或范围问题 [规律方法]由公切线求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 例3．已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则______． 【答案】4 【解析】依题意，可得，整理得 令，则在单调递增 且，∴存在唯一实数，使 ，，， ，，∴，故． 【点睛】由切点坐标表达切线斜率，建立的的方程组，通过消元，建立关于的过程，进而转化为函数零点存在性问题求 例4．若存