专题11：隐零点设而不求

专题11：隐零点设而不求 专题11：隐零点设而不求 专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握. [规律方法] 隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字. 例题 1．设函数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若，k为整数，且当时，，求k的最大值． 【解析】（Ⅰ），，，，， 函数的图象在点处的切线方程为． （Ⅱ），． 若，则恒成立，所以，在区间上单调递增． 若，则当时，，当时，， 所以，在区间上单调递减，在上单调递增． （Ⅲ）由于，所以，． 故当时，． ① 令，则． 函数在上单调递增，而，． 所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点． 设此零点为，则．当时，；当时，； 所以在上的最小值为．由，可得，所以． 由于①式等价于，故整数k的最大值为2． 2．已知函数． （1）设是的极值点，求m并讨论的单调性； （2）当为奇函数时，证明：恒成立． 【解析】 （1）∵，是的极值点，∴，解得． ∴函数，其定义域为．∵， 设，则，∴在上为增函数， 又∵，∴当时，，即； 当时，，．∴在上为减函数；在上为增函数． （2）证明：， ∵为奇函数， ∴， 即，解得， ∴，则在上单调递增， ∵，，∴在存在唯一实数根，且， 当时，，时，， 当时，函数取得最小值，∵，即， ∴，∴． 3．已知函数，其中． （Ⅰ）设是的导函数，讨论的单调性； （Ⅱ）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解． 【解析】 （Ⅰ）由已知，函数的定义域为，， ∴． 当时，在，上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在上单调递增． （Ⅱ）由，解得， 令， 则，．故存在，使得． 令，，由知，函数在上单调递增． ∴．即， 当时，有，．由（Ⅰ）知，在上单调递增， 故当时，，从而； 当时，，从而．∴当时，． 综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在区间内有唯一解． 【针对训练】 1．已知函数f(x)=-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨