专题10：凹凸反转问

专题10：凹凸反转问 专题10：凹凸反转问题 专题阐述： 很多时候，我们需要证明函数，但不代表就要证明，因为大多数情况下，的零点是解不出来的.当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点不行可尝试用凹凸反转. [规律方法] ，如果能够证明，则显然成立，很明显，是凹函数，是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求的问题的，两种方法互为补充. 例题 1．设函数，． （1）判断函数零点的个数，并说明理由； （2）记，讨论的单调性； （3）若在恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）1；（2）时，在递减，时，在递减，在递增；（3）． 【解析】 （1）由题意得：，∴，故在递增；又，， 故函数在内存在零点，∴的零点个数是1； （2），， 当时，，在递减， 当时，由，解得：（舍取负值）， ∴时，，递减，时，，递增， 综上，时，在递减，时，在递减，在递增； （3）由题意得：，问题等价于在恒成立， 设，若记，则， 时，，在递增，，即， 若，由于，故，故， 即当在恒成立时，必有，当时，设， ①若，即时，由（2）得，递减，，递增， 故，而，即存在，使得， 故时，不恒成立； ②若，即时，设，， 由于，且，即，故， 因此， 故在递增，故，即时，在恒成立， 综上，时，在恒成立． 2．设函数，证明． 【解析】 证明：∵，从而等价于． 设函数，则， 所以当时，；当时，． 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为．设函数，则． 所以当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为； 因为，所以当时，，即． 3．设函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，证明：在上恒成立． 【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）见解析． 【解析】 （1）当时，，， ∴当时，；当时，． ∴在上单调递增，在上单调递减； ∴在处取得极大值，无极小值； （2）当时，， 下面证，即证，设，则， 在上，，是减函数；在上，，是增函数． 所以，设，则， 在上，，是增函数；在上，，是减函数， 所以，所以，即， 所以，即，即在上恒成立． 针对训练 1．设函数，，其中，e是自然对数的底数. （1）设，当时，求的最小值； （2）证明：当时，总存在两条直线和曲线与都相切； （3）当时，证明：.