专题9：双变量问题

专题9：双变量问题 专题9：双变量问题 专题阐述：双变量问题主要表现为双变量不等式问题，一般包括中点型、极值和差商积问题、剪刀模型及主元法. [规律方法] 破解双变量不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 例题 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，证明：当时，； （3）函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明． 【解答】 解：（1）函数的定义域为，， 当时，则由，得， 当时，，当，时，，在单调递增，在，上单调递减； 当时，恒成立，在单调递增； （2）设函数， 则， ， 当时，，而，，故当时，； （3）由（1）可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为，且， 不妨设，，，，，则， 由（2）得，，又在，上单调递减， ，于是，由（1）知，． 2．已知函数，. （1）若存在单调递增区间，求的取值范围； （2）若，与为的两个不同极值点，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 （1）函数定义域为，根据题意知有解，即有解，令，， 且当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以； （2）由，是的不同极值点，知，是的两根， 即，所以①， 联立可得：②， 要证，由①代入即证，即， 由②代入可得③， 因为，则③等价于， 令，问题转化为证明④成立， 而， 在上单调递增，当，④成立，即得证. 3．已知有两个极值点，． （1）求的取值范围； （2）当时，证明：． 【解答】 （1）解：由题意可知，函数的定义域为，则， 令，因为函数有两个极值点，， 则函数有两个零点，，又， 当时，，则在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，可得，所以当时，，则单调递减， 当，时，，则单调递增，又（1）， 所以当，即时，有唯一的零点，故符合题意； 当，即时，（1）， 当，即时，在上有唯一的零点，， 设（a），，则（a），所以（a）在上单调递减， 则（a），即，又，所以在，上有唯一的零点，此时有两个零点，符合题意； 当，即时，在，上有唯一的零点，而，， 所以在上有唯一的两点，此时有两个零点，符合题意． 综上所述，的取值范