专题8：极值点偏移问题(1)

专题8：极值点偏移问题(1) 专题8：极值点偏移问题 专题阐述：极值点偏移问题大体可分为加法型、减法型、乘积型、平方型及商型5个类型，考查学生化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力，是历年高考中题的一个难点. [规律方法] 处理极值点偏移问题中的类似于（为的两根）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 由此，其它类型可模仿上面步骤进行变形及构造. 例1．设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）定义域为，， 当时，，即在上单调递增，不合题意，； 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 存在，使得成立，则，即， 又，，即， 令，则， 在上单调递增，又，，即实数的取值范围为. （2）当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 由且知：； 令，， 则， 在上单调递增，，即； ，又，； ，，又且在上单调递减， ，即. 例2．2．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，，是的两个零点．证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【解析】（1）函数的定义域为， ，当时，， 所以在上单调递增．当时，令， 所以在上，，，单调递增， 在上，，，单调递减， 综上，当时，在上单调递增． 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）证明：（ⅰ）由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则， 又，故，，则， 令，则， ∴在上单减，∴，又， ∴， 又，∴，即； （ⅱ）要证，由（1）可知，只需证， 即证，又， ∴只需证，即证， 令，则，∵，∴， 所以上述不等式等价于，即，亦即， 令，则， ∴在上单调递减，即，即得证． 例3．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个零点工，，证明：． 【解析】（1），， 当时，，在上递减；当时，， 令，解得：，令，解得：， 故在上递减，在上递增；综上：当时，在上递减； 当时，在上递减，在上递增； （2）证明：若函数有两个零点，， 则①，②， 得：，故， 得：，故， 要证，即证e，即证， ，， 即证，即证，，令，则， ，， 则，故