专题7：卡根法应用

专题7：卡根法应用 专题7：卡根法应用 专题阐述： 卡根法常应用于导数研究函数性质（不等式整数解）的过程中，其本质是虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号. [规律方法] 利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号. 例1．已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值． 【答案】（1），；（2）3． 【解析】（1）∵， ∴， 由题意可得，， 解可得，，， （2）由（1）可得，， 由恒成立可得，， 令， 则， 令， 则， ∴单调递增，而，， 所以有唯一的实数根，且， ∴， ∴，，故k的最大值3． 例2．设函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 【解析】（1）因为， 所以， ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得， 综上所述，当时，的增区间为； 当时，的增区间为； 时，的增区间为. （2）当时，，所以， 而， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数， 而，， 故在上有且只有一个零点， 且且时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为，所以， 所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故， 故存在整数满足题意，且的最小值为0. 例3．已知函数，. （1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数； （2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值. 【解析】（1）的定义域为；且， 因为方程的， ①当，即时，恒成立， 此时对于恒成立， 所以在上单调递增，故极值点个数为； ②当，即时， 设方程的两根分别为和， 则，，所以，，设 ， 则，， 由即可得：或， 由即可得： 所以在和上单调递增， 在上单调递减，故极值点个数为2； 综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2. （2）时，，则， 令，则， 所以在上单调递增， 而，， 所以存在，使，即，故， 当时，，；当时，，； 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，因为，即的最大值为3. 【点睛】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构