专题6：有关距离问题

专题6：有关距离问题 专题6：有关距离问题 专题阐述： 利用导数研究距离问题，通常有两种不同的问题：相异曲线上两点间的距离问题及利用切线求两点间的距离问题，研究此类问题通常需要将所求问题进行等价转化，构造函数，结合函数性质与图象，给出判断. 考法一： 相异曲线上两点间距离 [规律方法]此类问题通常可以借助两种解决方法解决问题： ①通过观察，结合反函数及其性质，构造函数，通过求函数最值解决问题； ②通过函数作差，或等量代换，构造函数，通过求函数最值解决问题. 例1．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与互为反函数，它们图象关于直线对称； 又，由直线的斜率，得，， 所以切线方程为， 则原点到切线的距离为， 的最小值为．故选：D． 例2．设动直线与函数，的图象分别交于点M、N，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画图可以看到就是两条曲线间的垂直距离． 设，求导得：． 令得；令得， 所以当时，有最小值为， 故选：A． 例3．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为______.（其中常数，是自然对数的底数） 【答案】 【解析】由直线分别与直线、曲线交于点A、B，得，由，易得恒成立，即曲线在直线的上方， 设，则 设，则， 则， ，， 当时，，当时，， 故函数在为减函数，在为增函数， 即. 故答案为: 【点睛】本题根据题意可得点横坐标，再构造，求出导函数，通过判定函数的单调性，求得线段长度的最小值.主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算. 例4．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为（       ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】作出的图像如图所示. 因为，所以，易知，则. 令，则 易知函数在上单调递增，所以. 故选：A 【点睛】本题通过画出的图像，再根据确定，进而将转换为关于的函数，求导分析单调性与最大值，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想. 【针对训练】 1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 A． B． C． D． 2．设动直线与函数的图象分别交于点M，N，则最小值所在的区间为（     ） A． B． C． D． 3．设直线与函数，