不动点与蛛网图

不动点与蛛网图 不动点与蛛网图 第一讲 实数数列的“不动点” 一、相关的概念 1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”.得到的函数如：，把当作y，把当做； 2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程. 前一次计算时的y， 是后一次计算的x. 3、数列的不动点：满足的的数值. 例1.己知.若是常数数列，求的值. 解：∵，∴或，∴或1 （1）数列的“不动点”其实不是点，而是数值； （2）若不动点，则数列是常数数列，不动点. 二、进一步分析： 满足，的的数值，叫数列的“不动点”； 任何实数数列都有不动点吗？无实数解 例2.已知数列满足.若数列有不动点，则实数b的取值范围是___________. （1）数列角度 （2）函数角度：有解 （3）函数图象的角度： ①数列有不动点生成函数的图象与直线有交点； ②生成函数图象与直线的交点的横（纵）坐标=不动点. 例3、已知数列满足，则（ ） A.当时，恒成立 B.当时，恒成立 C.当时，恒成立 D.当时，恒成立 解：（1）当时，数列有不动点，即有实数解； （2）图象角度：当时，抛物线与直线有交点； （3）不动点的数值：①B中，由得： ②C中，由得：或2 ③D中，由得： 选项B中，取，则不成立； C，D同理可排除. 实际不用算，看图判断出：不动点即可. 问题：当，即时，无论取何值，为什么恒成立？ 1、观察抛物线和直线的位置关系： （1）函数角度：恒成立； （2）数列角度：恒成立； 严格单调递增 2、如何保证呢？ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，∴ ∴ 三、不动点的分类 例4.已知.讨论的单调性. 解：（1）当时，为常数数列； （2）当时，用归纳法或同号法，可证明： ∴ ∴递增 如时，… 与不动点的差，随n增大而增大. （3）当时，同理可证，且递减 如时，与不动点的差，也随n增大而增大. 总之，当时，随着n增大，逐渐“远离”不动点. 这种不动点，叫“排斥不动点 例5.己知.讨论的单调性. 解：（1）当时，为常数数列； （2）当时，如时， 数列递减，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”； （3）当时，如时， 数列递增，随n增大，向不动点逐渐“靠拢”； 这种不动点，叫“吸引不动点”， 总之，不动点可分为“排斥不动点”、“吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下节课会结合“蛛网图”讨