不动点与数列

不动点与数列 一、什么是不动点 取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长，一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图1-1），则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的“A”这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点. 一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A），则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点. “不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用： 把任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是： 若小三角形的顶点落在某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割，最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点. 历史上证明了Sperner定理后，导出了布劳韦尔（Brouwer）不动点定理： “任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”. 定理的严格证明是艰深的. 由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况： 定理：设是连续函数，其定义域为，值域，则必有不动点（即存在一点使）. 预备知识： 定义1对函数，若存在实数，满足，则称为的不动点. 对此定义有两方面的理解： （1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点. （2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点. 利用递推数列的不动点，可以将某些由递推关系所确定的数列转化为较易求通项的数列（如等差数列或等比数列），这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式. 定义2若数列满足，则称为数列的特征函数. 定义3方程称为函数的不动点方程（特征方程），其根称为函数的不动点. 具体应用： 若数列的递推公式为，把此式中的、均换成，得方程，我们把方程的实数根称为数列的不动点.利用数列的非零不动点，可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列的通项公式.